التعليم المعتمد على المشروعات العملية

المقدمة
لا يعد إدخال المشروعات في المنهج الدراسي فكرة جديدة أو ثورية في التعليم. ورغم ذلك، فقد اتخذت الممارسة شكل إستراتيجية تدريس الأكثر نظامية. وقد حظى التعليم المعتمد على المشروعات العملية بدور أكثر أهمية في الفصل الدراسي وفق ما قام الباحثون بتسجيله من فهم المدرسين على المدى الطويل. يصبح الطلاب أكثر تعمقًا في التعليم عندما تتاح لهم الفرصة لمواجهة مشكلات معقدة ومثيرة للتحدي وحتى أكثرها فوضى والتي تشبه الحياة اليومية بشكل كبير.

ويتجاوز التعليم المعتمد على المشروعات العملية فكرة إثارة اهتمام الطلاب فقط. وتشجع المشروعات جيدة التصميم عملية الاستفسار النشط والارتقاء بمستوى التفكير. (توماس ١٩٩٨) تؤكد الأبحاث التي تعني بدراسة المخ على أهمية هذه الأنشطة التعليمية. تتعزز قدرات الطلاب على اكتساب المزيد من الفهم عند "الارتباط بأنشطة حل المشكلات ذات المغزى وعند مساعدة الطلاب في فهم سبب ووقت وكيفية ارتباط هذه المهارات والحقائق" (برانسفورد وبراون وكوكنج ٢٠٠٠، صفحة ٢٣).

ما التعليم المعتمد على المشروعات العملية؟
يعد التعليم المعتمد على المشروعات العملية نموذجًا تعليميًا، حيث يستغرق الطلاب في استقصاء المشكلات الملحة والتي تصل إلى ذروتها في المنتجات الفعلية. يمكن أن تتنوع المشروعات الموجهة لتوفير فرص تعلم أقوى للفصول الدراسية من حيث الموضوع والمنظور ويمكن تقديمها للعديد من مستويات الصفوف الدراسية. وبالرغم من ذلك، فإنها تميل إلى مشاركة سمات محددة. تنتج المشروعات من الأسئلة المثيرة للتحدي والتي لا يمكن الإجابة عنها بالتعليم القائم على التذكر. كما تضع المشروعات الطلاب في دور فعال هو حلال المشكلات ومتخذ القرار والمتقصي والموثِّق. تخدم المشروعات أهداف تعليمية هامة ومعينة فهي ليست مجرد لهو أو إضافات إلى المنهج الدراسي الفعلي.

إلى أي مدى يرتبط التعليم المعتمد على المشروعات بإستراتيجية طرح الأسئلة؟
تدخل الأسئلة في العديد من الأنشطة التي تتحكم في فضولنا الطبيعي لمعرفة العالم. وفيما يتعلق بالتعليم، يكون للأسئلة معنى أكثر تحديدًا. يقوم المدرسون الذين يستخدمون الأسئلة كإستراتيجية بتشجيع الطلاب على طرح الأسئلة وتصميم الأبحاث وتنفيذها وتدوين الملاحظات والتعبير عما قاموا باكتشافه من معلومات. على الرغم من ذلك، لا يعد هذا بمثابة تعريف ثابت. حتى داخل الفصل الدراسي الواحد، تتم أنشطة طرح الأسئلة بشكل متسلسل، بدءًا بأسئلة أكثر تنظيمًا وبتوجيه من المدرس من ناحية إلى أسئلة ذات نهايات مفتوحة أكثر وبرغبة من الطلاب (جاريت، 1997).
قد يكون من المفيد التفكير في التعليم المعتمد على المشروعات العملية كمجموعة فرعية من تعليم إستراتيجية طرح الأسئلة. وتخلص مراجعة البحث المتعلق بالتعليم المعتمد على المشروعات العملية إلى أن تلك المشروعات تركز عن الأسئلة أو المشكلات التي "تدفع الطلاب إلى مواجهة (والمعاناة مع) المفاهيم الرئيسية ومبادئ التدريب" (توماس، ٢٠٠٠، صفحة ٣). بالإضافة إلى ذلك، تشتمل الأنشطة الرئيسية للمشروع على طرح الأسئلة وتكوين معرفة جديدة بواسطة الطالب (توماس، 2000). عادةً ما يتوفر لدى الطلاب الاختيار حين يصل الأمر إلى تصميم المشروع الخاص بهم، والذي يسمح لهم بمزاولة اهتماماتهم وإشباع فضولهم. أثناء الإجابة عن أسئلتهم، قد يقوم الطلاب بالاستفسار عن موضوعات غير محددة من قبل المدرس كأهداف تعليمية.

نموذج التعليم المعتمد على المشروعات العملية؟
يوفر التعليم المعتمد على المشروعات العملية مجموعة كبيرة من المزايا لكل من الطلاب والمدرسين. يقوم قسم البحث الأكاديمي الناشئ بدعم تطبيق التعليم المعتمد على المشروعات العملية في المدرسة وذلك لشغل الطلاب وتقليل نسبة الغياب وتعزيز مهارات التعلم التعاوني وتحسين الأداء الأكاديمي (مؤسسة جورج لوكاس التعليمية، ٢٠٠١).
وبالنسبة إلى الطلاب، تشمل مزايا التعليم المعتمد على المشروعات العملية ما يلي:

·         زيادة نسبة الحضور وزيادة الاعتماد على الذات وتحسن التوجهات نحو التعليم (توماس، ٢٠٠٠).

·         فوائد أكاديمية تساوي تلك الناتجة عن النماذج الأخرى أو تكون أفضل منها، وذلك من خلال اشتراك الطلاب في مشروعات وتحمل مسئولية تعلمهم على نحو أكبر مما يحدث أثناء أنشطة الفصول الدراسية التقليدية (بولير، ١٩٩٧، إس آر آي، 2000)

·         فرص تنمية المهارات المعقدة مثل مهارات التفكير العليا وحل المشكلات والتعاون والتواصل (إس آر آي، ٢٠٠٠).

·         الحصول على مجموعة أكبر من فرص التعلم في الفصل الدراسي وتوفير إستراتيجية لاحتواء متعلمين بخلفيات ثقافية مختلفة (رايلزباك، ٢٠٠٢)

تنبع جاذبية هذا النمط من التعلم بالنسبة إلى العديد من الطلاب من مصداقية التجربة. يتولى الطلاب مسئولية القيام بدور وسلوك هؤلاء الذين يعملون في مجال دراسي معين. سواء أكان الطلاب يقومون بعمل فيلم وثائقي حول أحد التهديدات البيئية أو تصميم منشور سياحي للتركيز على المواقع الأثرية في المجتمع أو تطوير عرض تقديمي متعدد الوسائط حول المؤيدين والمعارضين لبناء مركز تجاري للتسوق، فإنهم ينخرطون في أنشطة واقعية لها مغزى يتجاوز حدود الفصل الدراسي.
أما المزايا التي تعود على المدرسين، فتتمثل في اكتساب مزيد من الخبرة وزيادة التعاون بين الزملاء وتوفر الفرص اللازمة لخلق علاقات مع الطلاب (توماس، ٢٠٠٠). بالإضافة إلى ذلك، يسعد العديد من المدرسين بإيجاد نموذج يلاءم المتعلمين بالخلفيات الثقافية المختلفة عن طريق توفير مجموعة أكبر من فرص التعلم داخل الفصل الدراسي. يكتشف المدرسون أن أكثر الطلاب استفادة من التعليم المعتمد على المشروعات العملية هم هؤلاء الذين لا يميلون إلى طرق وأساليب التدريس التقليدية (إس آر آي، 2000).
كيف يعمل هذا النموذج على تحويل فصل دراسي تقليدي؟
يوضح عرض تقديمي للتطوير المهني تم إعداده بواسطة برنامج Intel® Teach to the Future (2003) فصلاً دراسيًا يستخدم معه المدرس نموذجًا للتعليم المعتمد على المشروعات العملية بكفاءة. في مثل هذا الوضع:

• توجد مشكلة بدون إجابة محددة مسبقًا.
• تتم تهيئة مناخ يسمح بالخطأ والتغيير.
• يتخذ الطلاب قرارات باستخدام إطار.
• يقوم الطلاب بتصميم عملية الوصول إلى حل.
• يحظى الطلاب بفرصة للتعبير عن الأنشطة.
• يجري التقييم باستمرار.
• يخرج منتج نهائي ويتم تقييمه لقياس الجودة.

أما بالنسبة إلى الطلاب المعتادين على تجربة المدرسة التقليدية، فإن ذلك يعني تحولاً من اتباع الأوامر إلى القيام بأنشطة التعلم ذاتية التوجيه، ومن التلقين والتكرار إلى القدرة على الاكتشاف والربط والعرض، ومن الإصغاء والتفاعل إلى التواصل وتحمل المسئولية، ومن معرفة الحقائق والمصطلحات والمحتوى إلى عمليات الفهم، ومن النظرية إلى تطبيقها، ومن الاعتماد على المدرس إلى الاعتماد على الذات (إنتل، ٢٠٠٣).
ما التحديات التي تواجه المدرسين؟
قد يضطر المدرسون الذين يستخدمون التعليم المعتمد على المشروعات العملية في الفصول الدراسية إلى تبني إستراتيجيات تعليمية جديدة لتحقيق النجاح. لم يكن قيام المعلم بدور الموجه أو المرشد هو الطريقة التي درسها معظم المعلمين أو حتى الطريقة التي تم تدريسها لهم ليدرسوها للطلاب.
لا تعمل أساليب التدريس المباشر القائمة على الكتب المدرسية والمحاضرات وعمليات التقييم التقليدية بشكل فعال في عالم التعليم المعتمد على المشروعات العملية والذي يمتاز بتعدد الفروع المعرفية والنهايات المفتوحة. بدلاً من ذلك، يقوم المدرسون بتوفير مزيد من التدريب والأمثلة الموضحة وقليل من "الأوامر". ويحتاج المدرسون إلى التعامل بهدوء مع "التحولات الخاطئة" التي قد يقوم بها الطلاب أثناء إتمام مشروع ما (إنتل، ٢٠٠٣). قد يكتشف المدرسون أنهم أنفسهم يتعلمون جنبًا إلى جنب مع الطلاب عندما تبدأ المشروعات.
هناك تحديات معينة تواجه المدرسين تتضمن ما يلي:

• التعرف على المواقف التي تصلح للمشروعات الجيدة
• هيكلة المشكلات بحيث تصبح فرصًا للتعلم
• التعاون مع الزملاء لتنمية مشروعات لفروع معرفية متعددة
• إدارة عملية التعلم
• استخدام التكنولوجيا في المكان المناسب
• تطوير عمليات التقييم الحقيقية

قد يرغب المدرسون في المخاطرة للتغلب على التحديات الأولية. كما أن وجود إدارة داعمة يمكن أن يساعد من خلال تطبيق جداول أكثر مرونة مثل الجداول المدمجة أو وقت التخطيط للفريق بالإضافة إلى تزويد المعلمين بفرص التطوير المهني.

شرح بالفيديو لدرس تطابق مثلثين

شرح بالفيديو لدرس تطابق مثلثين 

وتمارين 

أضغط هنا

الأهداف العامه لمادة الرياضيات

أهداف تتعلق بالمعرفة :

*اكتساب المعرفة الرياضية اللازمة لفهم البيئة والتعامل مع المجتمع .
*فهم واستخدام مفردات لغة الرياضيات من رموز ومصطلحات وأشكال ورسوم …الخ .
*فهم ألبني الرياضية وخاصة النظام العددي والجبري والهندسي .
*فهم طبيعة الرياضيات كمنظومة متكاملة من المعرفة ودورها في تفسير بعض الظواهر الطبيعية .
*إدراك تكامل الخبرة متمثلاً في استثمار المعرفة الرياضية في المجالات الدراسية الأخرى .

ب- أهداف تتعلق بالمهارات الرياضية : 
*اكتساب المهارات الرياضية التي من شأنها المساعدة على تكوين الحس الرياضي 0
*اكتساب القدرة على جمع وتصنيف البيانات الكمية والعددية وجدولتها وتمثيلها وتفسيرها 0
*استخدام لغة الرياضيات في التواصل حول المادة والتعبير عن المواقف الحياتية0
*القدرة على عرض ومناقشة الأفكار الرياضية واكتساب مهارة البرهان الرياضي 0
*تعميم العمليات الرياضية العددية على العبارات الرمزية ( الجبر ) 0
*القدرة على بناء نماذج رياضية وتنفيذ إنشاءات هندسية 0

حـ- أهداف تتعلق بأساليب التفكير وحل المشكلات :
*اكتساب أساليب وطرق البرهان الرياضية وأسسها المنطقية البسيطة .
استخدام الأسلوب العلمي في التفكير 0
التعبير عن بعض المواقف المستمدة من الواقع رياضياً ومحاولة إيجاد تفسير أو حل لها 0
*اكتساب القدرة على حل المشكلات الرياضية ( عددية ، جبرية ، هندسية )
*استخدام أساليب التفكير المختلفة (الاستدلالي ، التأملي ، العلاقي ، التركيبي ، التحليلي ) والقدرة على الحكم على صحة ومعقولية الحل 0
*ابتكار أساليب جديدة لحل المسائل الرياضية 0

د- أهداف وجدانية :

*اكتساب قيم إيجابية من مثل : ( الدقة التنظيم ، المثابرة ، والموضوعية في الحكم على المواقف ، واحترام الرأي الآخر ، وحسن استغلال الوقت ) 0
*تذوق الجمال الرياضي من خلال اكتشاف الأنماط والنماذج وما بها من تناسق0
*تنمية تقدير الذات للكفاءة الرياضية 0
*تنمية الثقة بالرياضيات كوسيلة وغاية 0
*تكوين ميول واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات 0
*تقدير دور العرب والمسلمين وغيرهم في تطوير علم الرياضيات 0
*الشعور بالاستمتاع من دراسة الرياضيات وتوظيفها في جوانب ترفيهية مثل الألغاز والمغالطات 0

و من الأهداف غير المباشرة :
*حل المشكلات
يوظف استراتيجيات متعددة لحل المشكلات متبعاً خطوات حل المشكلة.
يصوغ الحلول ويتحقق منها ويفسر النتائج مقارنة بالمواقف الأصلي .
يعمم الحلول والاستراتيجيات على مواقف جديدة 0 .
*- التواصل :
ـ يعبر عن المواقف الحياتية شفوياً ، كتابياً ، عملياً بيانياً .ستخدماً لغة الرياضيات
ـ يوظف مهارات القراءة والاستماع لتفسير الأفكار الرياضية وتقديم المبررات المقنعة 0


- أساليب التفكير :
ـ يضع الفرضيات الحدسية والمناقشات ويتحقق منها 0
ـ يستخدم أساليب التفكير والبرهان المنطقي ماراً بخطواته الرئيسية .

- الحس الرياضي :
ـ يوظف استراتيجيات متنوعة لتقدير الأطوال والأوزان والمساحات والحجم ونواتج العمليات 0
ـ يستخدم التقدير للتحقق من صحة نتائجه 0

- معالجة البيانات :
ـ ينشئ ويقرأ الجداول والرسومات البيانية 0
ـ يستخلص علاقات مدعمة بمبررات مقنعة مبنية على تحليل البيانات .


الأهداف الوجدانية لتدريس الرياضيات

مقدمــــة
إن أي عمل لابد وأن يبدأ بتحديد الأهداف له ويسعى القائمون على تنفيذه بإختيار الوسائل والإجراءات المناسبة التي يمكن بواسطتها تحقيق الأهداف الموضوعة، وذلك بالطبع في ضوء كافة الإمكانات المادية والبشرية وعلى ذلك فإن أي مادة تعليمية يجب أن يكون لها أهداف واضحة ومحددة حتى يتمكن المعلم من إتباع الإجراءات المناسبة لتحقيق هذه الأهداف.
وقد تم تصنيف أهداف التدريس ( السلوكية ) الى ثلاث مجالات للنمو:
1- الجانب المعرفي.
2- الجانب النفسحكري( المهاري)
3- الجانب الوجداني.
وسوف نتناول في هذه الحلقه الجانب الوجداني لتدريس الرياضيات وايضا الرياضيات في القرآن الكريم.

المجال الوجداني

التعريف العام
يتعلق المجال الوجداني بمشاعر المتعلم وعقائده وأساليبه في التكيف والتعامل مع الأشياء، ما يحبه ومالا يحبه فقد نجد أن المتعلم ينفر من مادة معينه ويقبل على مادة أخرى ربما يرجع ذلك إلى اهتمامات المتعلم
وميوله ورغباته وأساليب المعلم في التعليم وطرق تدريسه للمادة وطرق تعامله مع الطلاب عند شرح المادة.
وإذا كان هدفنا التربوي هو النمو الشامل والمتكامل للفرد كان لزاما على المعلم ان يهتم بالأهداف الوجدانية جنبا إلى جنب مع الأهداف المعرفية والمهارية وان يكون على دراية تامة بطرق ووسائل قياسها.
ومن الأهداف الوجدانية التي نرمي الى تحقيقها عند تدريس الرياضيات ما يلي :
1- أن يشعر الطالب بالانسجام التام بين العلم والدين في شريعة الإسلام
فان الإسلام دين ودنيا والفكر الإسلامي يفي بمطالب الحياة البشرية في ارقى صورها في كل عصر .
2- أن يتعرف الطالب على أهمية مادة الرياضيات ودورها في التقدم الحضاري والتطور العلمي وأهمية استخداماتها التطبيقية.
3- أن يقدر الطالب النواحي الجمالية في الرياضيات خاصة فيما يتعلق بتذوق القياس المنطقي واحترام قوة التفكير والتعليل.
4- ان يتعرف الطالب على تطور الرياضيات وفضل العلماء العرب والمسلمين.
5- أن يميل الطالب نجو دراسة الرياضيات والذي يظهر في الرغبة في حل المشكلات الرياضية والا شتراك في المناشط الخاصة بالرياضيات ومناقشة الأفكار الرياضية وحل الواجبات المنزلية والا استمرار في دراستها ذاتيا وقراءة كتب ومراجع الرياضيات.
6- أن ينمي الطالب اتجاهات ايجابية نحو الرياضيات والتفكير السليم وحب الاستطلاع وذلك بأن يستمتع بكل الأنشطة المتعلقة بها
وسنتطرق إلى نبذه مختصرة عن المجال الوجداني ومستوياته وأمثلة لأهداف إجرائية سلوكية لمادة الرياضيات بالمراحل الثلاث.

مستويات الأهداف الوجدانية
والأهداف في هذا المجالات تعني بالأحاسيس والمشاعر والانفعالات كذلك تعني بتكوين الاتجاهات والميول والقيم .
مستويات الجانب الوجداني :
السلوك القيمي
تكوين النظام القيمي
تكوين الاتجاه
الاهتمام
التقبل
الانتباه

أولا: مســـــتــــوى الانتباه :
ويتطلب هذا المستوى جذب انتباه المتعلم الى مثير ما . وقد تكون الإثارة عن طريق البصر أو السمع أو اللمس أو الشم بحيث تثير فضول المتعلم ورغبته في أن يعرف المزيد عن هذا المثير .
ومن الأفعال المستخدمة في هذا المستوى :
يسمع بيقظة - ينتبه - بتابع - يركز على - يصغي - يلاحظ .............
ثانيا: مستوى التقبل (( أو الاستجابة )) :
ويتطلب هذا المستوى أن يفعل الطالب شيئاً مرتبطا بالظاهر الذي أثاره ، وتتدرج الاستجابة في هذا المستوى من كونها مفروضة أو مطلوبة من الطلاب الى استجابة تلقائية تطوعية .
ومن الأفعال المستخدمة في هذا المستوى :
يستجيب - يبادر - يطيع - يجيب بحرية - يشترك في - يبدي استعداد .................................................. ..
ثالثا:- مستوى الاهتمام :
أي جانب الانتباه والتقبل بتميز سلوك الطالب في هذا المستوى بفاعلية الطالب وإيجابياته في إطار قد يتعدى المطلوب منه في حدود الدرس فينعكس اهتمام الطالب بالظاهرة التي جذبت انتباهه في محاولة التعرف على المزيد من جوانبها وإثارة الأسئلة والمناقشات حولها واختياره الحر للقيام ببعض الأعمال المرتبطة بها وهذه الدرجة من درجات المجال الوجداني هي نقطة تحول الطالب من مجرد الطاعة والانصياع للأوامر إلى الإحساس بمتعة ولذة التعلم وهذه بداية التعلم الحقيقي.
ومن الأفعال المستخدمة في صياغة أهداف تدريس الرياضيات على هذا المستوى :
يشارك - يثير نقاط جديدة - يشترك طواعية - يعتني - يبدي اهتماماً - يتعاون في - يتطوع للقيام بعمل ما - يقرأ حول الموضوع - يجمع مادة عملية حول الموضوع.

رابعا: مستوى تكوين الاتجاه:
يهتم هذا المستوى بادراك وتقدير لطالب للموضوع تقديرا ذاتيا ، تقديرا ينعكس بوضوح في سلوكه وتصرفاته عندما يثار هذا الموضع وتكوين الاتجاهات هو الطريق الممهد لتكوين القيم.
ومن الأفعال المستخدمة في صياغة هذا المستوى :
يختار بحرية - يمارس بحماس - يبذل مجهود - يبادر - يدافع عن - يفضل
خامسا ً :-مستوى تكوين النظام القيمي :
عندما يقوى اتجاه ما عند الفرد لدرجة كبيرة فانه يصل الى حد الايمان به والا اعتقاد فيه والسلوك الدائم إزاءه وهذا المستوى يتطلب ان يحدد الفرد مكانة كل قيمة في وجدانه وعلاقة هذه القيم ببعضها البعض .
ومن الأفعال المستخدمة في هذا المستوى :
يختار - يفاضل - يرتب تبعا للأهمية - يتكيف - يعدل ويتطور.
سادساً:-
مستوى السلوك القيمي :-
ويعتبر هذا المستوى اعلي مستويات المجال الوجداني حيث تتكامل في هذا المستوى الأفكار والاتجاهات والمعتقدات والقيم وينتج عنه سلوك الفرد وطبيعة شخصيته وفلسفته في الحياة حيث أن سلوك الفرد على هذا المستوى يتصف بصفات خاصة فهو يكرره في مواقف مختلفة وعلى ذلك يمكن التنبؤ به وتوقعه قبل حدوثه . ومن الصعب جدا قياس هذا المستوى قياساً موضوعياً ولا يمكن الحكم عليه في درس أو عدة دروس او حتى مقرر دراسي بأكمله فهو عبارة عن حصاد المؤثرات التربوية التعليمية والا جتماعية والا اقتصادية سواء بالمدرسة او خارجها.
ومن الأفعال المستخدمة في هذا السلوك :
يسلك- يتصرف - يواظب - يحافظ على - يدافع عن - يتطوع لـ

وكثيرا ما يحتاج المعلم الى دليل مرئي ظاهر للحكم على تحقيق الطالب لهدف انفعالي معين ونظرا لأنه من الصعب رؤية الانفعال فيستحسن أن يصاغ بحيث يتضمن السلوك المرئي الذي يدل على هذا الانفعال وقد يكون السلوك المرئي لفظيا أو حركيا.
فمثلا نقول :
( أن ينتبه الطالب لخطوات حل المسألة ويدون هذه الملاحظات في دفتره ) وهنا يستدل على الانتباه من خلال صحة ما يدونه الطالب من خطوات .
مثال أخر :
( أن يقدر الطالب أهمية النظافة )فيحسن صياغة هذا الهدف على النحو التالي :
( أن يقدر الطالب أهمية النظافة ويظهر هذا الاهتمام في مظهره الشخصي وفي محافظته على نظافة كتبه ودفاتره أو بيئته المحيطة به )
كلمة أخيرة تتعلق بأهمية مستويات التدريس ( الأهداف السلوكية ) بالنسبة للتدريس الجيد:
هي تحديد مستوى الهدف والدرجة المطلوبة أن يصل إليها الطالب في كل جانب من جوانب الأهداف وهذا التحديد هو الموجه والمرشد للمعلم عند اختياره وتصميمه للمواقف التعليمية بحيث يساعد الطلاب على الوصول إلى المستوى المطلوب وهذا هو التدريس الفعال.

بحث فى الانشطة الأثرائية لمادة الرياضيات

الانشطة الإثرائية وأثرها على تدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية إعداد د. رضا مسعد السعيد عصر للعام الجامعي 2000 / 2001 ممقدمة : يشهد العالم المعاصر تطورات علمية وتكنولوجية واسعة النطاق في جميع المجالات . وتنعكس هذه التطورات على المناهج المدرسية وطرائق تدريسها ، إيماناً من المسئولين عن أمور التعليم في معظم بلدان العالم ، بأن تطوير المناهج الدراسية يؤدى إلى رفع مستوى تحصيل التلاميذ ، ويجعلهم قادرين على مسايرة متطلبات التقدم والتطور المعاصرين ، والإسهام فيها بفعالية تتناسب مع الدور المتوقع للإنسان في القرن الحادي والعشرين . ولذا ، شهدت المناهج الدراسية في السنوات الأخيرة ، تطورات وتغيرات سريعة ، وحظيت الرياضيات بنصيب وافر من هذه التطورات والتغيرات ، حيث قامت الكثير من الدول بإعادة النظر في مناهج الرياضيات بها ، لتأتى منسجمة مع حاجات مجتمعاتها وتطلعاتها نحو التقدم والرقى خلال الألفية الجديدة (

Lew, 1999, p. 219)• . ويؤيد ذلك ما تشير إليه الأدبيات التربوية وتوصيات المؤتمرات المرتبطة بتطوير مناهج الرياضيات وتر بوياتها ، وفى هذا الصدد يشير وليم عبيد ( 1998 ، ص 3-4) أنه قد حدث تغير في ماهية الرياضيات وطبيعتها وتطبيقاتها ، وأن تعليم الرياضيات بدوره بدأ يتحول من عملية يكون فيها الطالب متلقياً سلبياً لمعلومات يختزنها في شكل جزئيات صغيرة ، يُسهل استرجاعها بعد قدر من التدريب والمران المتكرر ، إلى نشاط يبنى فيه الطالب بنفسه المعلومة الرياضية ، وبطريقته الخاصة التي تُكسبها معنى يتواءم مع بنيته المعرفية ، ويُعالجها مستثمراً كل إمكانياته المعرفية والإبداعية ، مما يُكسبه ثقة في قدراته ويطلق طاقاته الكامنة. ولإطلاق هذه الطاقات الكامنة لدى التلاميذ يرى كل من أحمد حسين اللقانى ، فارعة حسن محمد ( 2001 ، ص ص 323-324) أن الأمر يحتاج إلى اختيار موضوعات دراسية على درجة كبيرة من الاتساع والمرونة . فالاتساع والمرونة لهما دلالة حقيقية ، إذ أن المعلم سيجد آنذاك من المادة العلمية ما يناسب تلاميذه ، وما يساعده على تشكيل خبرات غنية يتفاعل معها الأبناء ومن خلال ذلك يكشفون عن طاقاتهم الكامنة ، وبالتالي فإن المناهج التقليدية يصعب من خلالها الكشف عن تلك الطاقات ، ومع ذلك فإن المعلم يستطيع من خلال المواد الإثرائية المصاحبة للكتب المدرسية أن يكشف عن بعض هذه الطاقات الكامنة لدى طلابه. ولتحقيق ذلك بُنيت المناهج الحديثة للرياضيات على أساس نشاط الطلاب ومشاركتهم وفاعليتهم أثناء التدريس . وأصبحت وظيفية المعلم الأساسية تتمثل في تهيئة المواقف التعليمية التي توجه الطلاب نحو اكتشاف المفاهيم والعلاقات الرياضية ونحو اكتساب المهارات الرياضية وتطبيقها بشكل صحيح . وتميز تدريس الرياضيات في جميع المراحل التعليمية بحركة رائدة ، تمثلت في الابتعاد قدر الإمكان عن الأسلوب المعتاد القائم على نموذج العرض المباشر للمعارف والمعلومات ، والاقتراب بنفس القدر من الاستخدام الواعي للأنشطة الرياضية ، في إطار ما يسمى بالتدريس القائم على التعلم النشط . فلكي تتجاوب الرياضيات وتر بوياتها مع معطيات التطور المتوقعة في القرن الحادي والعشرين ، يرى وليم عبيد (1998، ص 3) ، أن عليها أن تخلع عنها رداءها التقليدي ، الذي يقتصر نسيجه على مجموعة من القواعد والقوانين ، التي تعانى عزوفاً من معظم الطلاب – كلما كان لهم إلى ذلك سبيلا – حيث يرون فيها غابة من الرموز والصياغات الجامدة المجردة ، تُرهق الطالب في منطوقاتها وأساليب دراستها وامتحاناتها ، وتشغله في عمليات معقدة يسهل إجراؤها بالحاسبات ، وفى براهين وإثباتات لما يراه أحياناً واضحاً ولا يحتاج إلى برهان ، وفى إجابات عن أسئلة لم يسألها أحد ، مما يجعل الكثير من الطلاب لا يشعرون بفائدة حاضرة أو مستقبلية لما يدرسونه ولا يستمتعون بجمال ذهني أو عقلي أو منطقي بها. والتعلم النشط ، هو تعلم قائم على استخدام الأنشطة الرياضية المتنوعة في محتواها ومستواها ، التي توفر للتلميذ درجة عالية من التحكم والخصوصية ، وتكسبه خبرات تعليمية مفتوحة النهاية ، غير مقيدة أو محددة بشكل سابق . ويحقق التعلم النشط التدريس الفعال للرياضيات نظراً لاعتماده على المشاركة الإيجابية من جانب التلاميذ في العديد من أوجه النشاط ( Anthony , 1996 , p. 366 ) . وتدل المشاركة الإيجابية للتلميذ على وجود حياة في الموقف التعليمي ، فالنشاط يبُث الحياة في العملية التعليمية ويبعدها عن الخمول ، وتأكيداً على أهمية النشاط يرى سيد أحمد عثمان (1994 ، ص 254) أن النشاط يكاد يعادل الحياة أو على الأصح يعادل عمل الحياة . فالخلية النشطة نشطة بالحياة ، بينما الخلية الخاملة ، خاملة من توقف عمل الحياة فيها . النشاط هو عمل الحياة في كل بنية حية ، والوعي ربيب النشاط والحركة نتاجه. ولذا تراعى أساليب التعلم النشط مبدأ من أهم مبادئ التعلم الفعال يتعلق بنشاط الطالب وإيجابيته ، وينص على أن " الاشتراك النشط للطالب في عملية التعلم أفضل دائماً من الاستقبال السالب " . ويرى كل من لطفى أيوب ، يوسف السوالمة (1993 ، ص 212) أن هذا المبدأ يعنى أنه كلما شارك الطالب في المناقشة وحل التدريبات أثناء الدرس ، وكلما قام بنفسه باستنتاج واكتشاف المعلومات ، كلما تعلم بصورة أفضل . فالطلاب يتعلمون الرياضيات بشكل أفضل عن طريق العمل والمشاركة الفعالة في الأنشطة التي تتيح لهم تطبيق ما يتعلموه ، ويجب على المعلم أن يشجع الطلاب على المشاركة في مناقشة الأفكار الرياضية ، وحل المسائل وأن يكلفهم بين الحين والآخر بأعمال تستدعى الإبداع أثناء دراستهم للرياضيات . وتعتبر نُدرة استخدام أساليب التعلم النشط سبباً من أسباب كراهية بعض التلاميذ للرياضيات ، وفى هذا الصدد يقرر فريد كامل أبو زينه (1994، ص ص 62-63) أن بعض المعلمين يغرقون تلاميذهم بكم كبير من المسائل والتمارين الروتينية الجافة التي لا تعنى شيئاً لهم ، ولا تقدم لهم أي أفكار محفزة مناسبة ، كما يصر بعض المعلمون على حل المسائل والتمارين بطرق معينة ، ولا يشجعون تلاميذهم على التفكير في حلول جديدة ، أو ابتكار طرق حل خاصة بهم ، مما يحجب عنهم الكثير من فرص الجدة والأصالة وبالتالي الإبداع في دراسة المادة. وخلال العقد الأخير من القرن الماضي ، بدأ التعلم النشط بأساليبه المتعددة يأخذ مكانه بالتدريج في المدارس ، بكل من بريطانيا والولايات المتحدة . وأصبح لدى معلم الرياضيات بتلك المدارس اتجاهاً متزايداً نحو استخدام هذه الأساليب في الفصول الدراسية ، وخاصة المشروعات الاستقصائية ، والمناقشات في مجموعات صغيرة ، والتعلم بمساعدة الكومبيوتر ، والمشروعات الممتدة ، والعمل الميداني ، وبحوث لعب الدور ، والخبرة العملية ، والتعلم الفردي ، وحل المشكلات التعاوني ، والتعلم البنائى ، والأنشطة الإثرائية ، والتعلم الإبداعي ( Kyricou and Marshall , 1989, p. 309 ) . ويتطلب تحقيق التعلم النشط داخل الفصول الدراسية ، إثراء مناهج الرياضيات بمجموعة من الأنشطة الرياضية ، التي تستثير اهتمام التلاميذ وتحقق إيجابيتهم ، وتعمل على مراعاة الفروق الفردية بينهم ، حيث يُعطى التلميذ فيها حرية الاختيار من بين الأنشطة المتنوعة التي تناسب قدراته وميوله ( Riley & Karnes, 1998, P. 42) . ولذلك يوصى الرياضيون التربويون على المستوى المحلى بضرورة استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات ، من خلال برامج إثراء مناسبة لكل من التلميذ المتفوق والتلميذ بطيء التعلم ، تشمل وسائل وأنشطة مشوقة اكتشافية تجعل العملية التعليمية محببة إليهم ، وتشحذ همة المتعلم باستثارة دوافعه للتعلم واستمرارية هذا التعلم ، ومن هذه الوسائل الألغاز الرياضية ، خاصة الألغاز التي تؤدى إلى اكتشاف الأفكار والعلاقات الرياضية بكل سهولة ويُسر (نظلة خضر ، 1990 ، ص 2) . ويرى محمد أمين المفتى (1995، ص 208) أن من بين ما يساعد على استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات ، طبيعتها التركيبية وبنيتها الاستدلالية ، وإمكانية إثراء مناهجها وطرق تدريسها بالعديد من المواقف المحفزة للتعلم والأنشطة المشوقة للتلاميذ ، مما يجعلها من المجالات الخصبة لتنمية التفكير الابتكارى. ورغم ذلك فإن التعلم النشط بأساليبه وأنشطته المتعددة لم يحظ على المستوى الميداني التطبيقي بالقدر المناسب من الاهتمام ، ونُدر استخدامه بواسطة معلم الرياضيات ، رغم مناداة العديد من الخبراء والمتخصصين بضرورة أن يقوم تعليم الرياضيات على النشاط ، ليكون هناك عائد أفضل من تعلم المادة ، ولجعل الطالب دائماً في موقف المتفاعل النشط ، من خلال تحفيزه على القيام بأنشطة تعليمية يكتسب من خلالها القدرة على الاكتشاف وحل المشكلات ، ومهارات التفكير المختلفة . وقد يرجع ذلك إلى سيادة التعلم التقليدي القائم على أسلوب العرض المباشر ، وهو أسلوب يتسم بسيطرة المعلم على النشاط الصفي ، فهو يتحكم في سير الحصة عن طريق تقديم المعلومات الجاهزة للطلاب ، وعرض الحلول للمشكلات والمواقف التي يمر بها الطالب أثناء الحصة الدراسية . وأدت سيادة هذا الأسلوب إلى مشكلات تدريسية كثيرة ، من أبرزها افتقار عنصر التشويق والدافعية ، والتركيز على التدريب الآلي والحفظ ، وعجز الطلاب عن أداء المهارات الأساسية ، بسبب أساليب ووسائل التعلم غير الفعالة التي يتبعها المعلمون ، ولا تستثير اهتمام الطلاب وحماسهم نحو التعلم . وانطلاقاً من هذا الواقع لتدريس الرياضيات ، وأملاً في تطويره بالمستقبل ، كان هذا البحث المرجعي الذي يهدف إلى مراجعة الأدبيات التربوية الحديثة في مجال التعلم النشط بصفة عامة ، والأنشطة الإثرائية بصفة خاصة ، رغبة في تحديد أبرز الاتجاهات الحديثة في استخدامها ، ومعرفة أثر هذا الاستخدام على تدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية . ولتحقيق هذه الأهداف يدور البحث الحالي حول المحاور التالية : أولاً - الأنشطة الإثرائية : ويتناول هذا المحور مفهوم الإثراء وأنواعه ، وتطور الأنشطة الإثرائية في مجال تعليم الرياضيات ، ومبررات إدخال الأنشطة الإثرائية في المناهج الدراسية، والأهداف التي يمكن تحقيقها باستخدام هذه النوعية من الأنشطة ، والمعايير الواجب مراعاتها عند اختيار هذه الأنشطة واستخدامها في التدريس ، وتصنيفات الأنشطة الإثرائية ومجالاتها المتعددة ، ومصادر الأنشطة الإثرائية للتلميذ الضعيف والتلميذ المتوسط والتلميذ المتفوق . ثانياً - أثر الأنشطة الإثرائية على تدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية : ويشتمل هذا المحور على أثر الأنشطة الإثرائية على قيام التلاميذ ببناء معارفهم الرياضية بأنفسهم ، وتنمية مهارات حل المشكلات الرياضية غير الروتينية لديهم ، ومساعدتهم على استكشاف الأنماط والتراكيب الرياضية وتنمية أبعاد التفكير الرياضي لدى التلاميذ ، وتنمية المهارات الرياضية المتقدمة، وتحقيق إيجابية التلاميذ ونشاطهم في الحصص الدراسية ، وتحقيق الأهداف الوجدانية المرجوة من دراسة الرياضيات ، وتحفيز التدريس الإبداعي داخل الفصل الدراسي. ثالثاً - الاتجاهات الحديثة في مجال استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات : ويشتمل هذا المحور على توسيع مفهوم الإثراء التربوي ليحقق الإثراء النفسي الشامل للنفس البشرية، استخدام الأنشطة الإثرائية مع جميع الطلاب وليس المتفوقين منهم فقط ، ربط الإثراء بمفهوم التميز للجميع، استخدام بعض جوانب التكنولوجيا الحديثة كوسائط للأنشطة الإثرائية ، شمول الإثراء لجميع جوانب العملية التعليمية وليس المناهج الدراسية فقط ، وخروج الإثراء من داخل الفصل الدراسي إلى المنزل والمجتمع ، واستخدام الإثراء كمدخل لتطبيق بعض نظريات التعلم الحديثة القائمة على نشاط المتعلم وإيجابيته . أولاً : الأنشطة الإثرائية (1-1) مفهوم الأنشطة الإثرائية : يشغل النشاط المدرسي – بصفة عامة – مكانة متميزة في الفكر التربوي المعاصر ، وهو يستهدف إثراء التدريس وإضفاء البعد الواقعي والوظيفي على المادة الدراسية وطرائق تدريسها. ويشير مصطلح الإثراء بصفة عامة إلى إحداث فعل أو القيام بسلوك ذي قيمة كبيرة أو أهمية بارزة في مجال معين ( Posamenter andStepleman , 1991, p. 127 ) . ويدل إثراء التدريس على تزويد التلاميذ بأنشطة تعليمية غير تقليدية ، ووحدات دراسية غير روتينية تهدف إلى تكثيف معلوماتهم وتعميق خبراتهم (عبد الله النافع آل شارع ، 1415هـ ، ص 37) . ويُقصد بالإثراء ، إغناء البرنامج التربوي ، وتزويد التلاميذ في المراحل التعليمية المختلفة ، بنوع جديد من الخبرات التعليمية ، يختلف عن الخبرات المقدمة لهم في الفصل الدراسي المعتاد ، من حيث المحتوى، والمستوى، والجدة ، والأصالة الفكرية. ويرى نبيل عبد الفتاح حافظ (1998 ، ص 114) أن المقصود بإثراء التدريس هو توفير خبرات تعليمية للتلميذ تُزيد من عمق واتساع عملية التعلم وتجعلها أكثر جاذبية له ، وتتضمن دراسة التلميذ مادة أخرى بتوسع أو عمق أكبر عن تلك المادة التي أظهر فيها تفوقاً ، وقضاء التلميذ الوقت المتوفر لديه في علاج مشكلة أو نقطة ضعف لديه في مادة أو مواد دراسية أخرى ، أو دراسة التلميذ بتوسع وعمق أكبر نفس المادة التعليمية التي نجح فيها ، أو دراسة مادة جديدة تماماً تخرج عن نطاق البرنامج الدراسي بطرق وأساليب جديدة. وينقسم الإثراء إلى نوعين : الإثراء الأفقي ويقصد به تزويد التلاميذ بخبرات غنية في عدد من الموضوعات المدرسية ، والإثراء الرأسي ويقصد به تزويدهم بخبرات غنية في موضوع ما من الموضوعات الدراسية (فاروق الروسان ، 1998 ، ص 54) . ومن المنظور اللغوي ، يذكر سيد أحمد عثمان (1994 ، ص 4) أن أصل كلمة الإثراء في المعجم الوسيط يعود إلى " ثرّ " ويفيد معان ثلاثة : (1) الغزارة والكثرة : فيقال سحاب ثر ، أي غزير ، وثرت الناقة ، أي كُثر درها ، والثرة من العيون : الكثير الماء ، (2) اللدونة والليونة : فيقال ثَريت الشيء أي نديته ، وثريت الأرض نديت ولانت بعد جدوبه ويبس ، (3) الاتساع : فيقال ثر الشيء اتسع ، والثر من المطر الواسع القطر ، والثر من الخيل الواسع الركض. ويقرر عبد الله الفهد (2001 ، ص 103) أن أصل كلمة النشاط في القاموس المحيط يعود إلى الفعل " نشط " فيقال ( نشط ) الرجل بالكسر ( نشاطاً ) وبالفتح فهو ( نشيطاً ) ، وقوله تعالى { والناشطات نشطا } (سورة النازعات ، آية : 2 ) يعنى النجوم تنشط من برج كالثور ( الناشط ) ، ونشط كسمع ، نشاطا بالفتح فهو ناشط ، أي طابت نفسه للعمل وغيره. وبذلك يتضح أن النشاط الإثرائى هو نوع من الأنشطة التعليمية التي تستثير فعالية التلاميذ وإيجابياتهم ، من خلال ما تتيحه لهم من خبرات جديدة غير روتينية تتسم بالمرونة والعمق والاتساع وتتطلب منهم المشاركة والفعالية والإيجابية أثناء الحصة الدراسية . والأنشطة الإثرائية في الرياضيات هي مجموعة من الأنشطة الرياضية ذات طبيعة أكاديمية شيقة ، تستثير في التلاميذ الرغبة في دراسة المادة من ناحية وحبها والإبداع فيها من ناحية أخرى . ومن أمثلة هذه الأنشطة : الألغاز الذهنية ، والألعاب العقلية ، والطرائف الشيقة ، والمغالطات الرياضية ، والقصص التاريخية ذات الصلة بالرياضيات وموضوعاتها ، وعلمائها البارزينPosamenter and Stepleman , 1991 , p. 136 ) ( ، وهى أيضاً أنشطة رياضية غير روتينية ، تهدف إلى إمداد الطلاب ببيئة تعليمية نشطة ، تتحدى قدراتهم وتنمى القدرات الابتكارية لديهم ، وبدون توفير مثل هذه الأنشطة للطلاب ، فإنهم قد لا يستطيعون تطوير قدراتهم ومواهبهم في الرياضيات بشكل مناسب( Joshua , 1993a , p. 5 ) . ويتم إثراء المناهج الدراسية من خلال استخدام مجموعة من الأنشطة الإثرائية المصاحبة للمنهج المعتاد التي يمكن أن تؤدى إلى التغلب على صعوبة بعض الموضوعات الرياضية ، وترغيب التلاميذ في دراستها ، واستثارة دوافعهم وميولهم نحوها . وينتج عن ذلك بيئة تعلم ثرية ، يوجد بها نشاطات تعليمية تناسب احتياجات الطلاب الفعلية ، وتركز على المجموعات الصغيرة ، أكثر من تركيزها على الدروس الجماعية، والمجموعات الكبيرة، ويشارك فيها الطالب بشكل فعال، وتتسم بمناخ من الثقة والقبول والاحترام المتبادل ، وتراعى الاختلاف في مستويات الطلاب وأساليب التعليم المستخدمة ، وتعمل على زيادة دافعية الطلاب وتضعهم دائماً في مواقف التحدي والمبادأة . وتنطوي الأدبيات التربوية على نوعين من الإثراء : أولهما الإثراء التربوي ، وثانيهما الإثراء النفسي . ويتكون الإثراء التربوي من أربعة مكونات : الإثراء العلمي ، الإثراء الثقافي ، الإثراء الأكاديمي غير المتصل بالموضوع والإثراء الأكاديمي ذات الصلة بالموضوع الذي يقوم الطالب بدراسته. ويُقصد بالإثراء التربوي ، تعريض الطلاب لخبرات عامة تتضمن موضوعات ومجالات معرفية جديدة ، أو أفكاراً متطورة ، لا يغطيها المنهج العادي ، وتسهم في تطوير مستويات عالية من التفكير ، ومهارات متقدمة في مجال البحث والاستقصاء ، بالإضافة إلى المهارات المرتبطة بالنمو الشامل للطلاب . ويوفر الإثراء التربوي للطلاب فرصاً لإثبات الذات في مجالات التخصص المختلفة ، ويجعلهم قادرين على حل المشكلات المختلفة التي تواجههم ، كما يوفر لهم خبرات استكشافية عامة يتعرضون من خلالها لموضوعات وأفكار وقضايا معرفية جديدة لا يغطيها المنهج المعتاد. فالإثراء التربوي يقدم للطلاب فرصاً لاستكشاف محتوى علمي جديد لا يعتبر في العادة جزءاً من المنهج المدرسي اليومي ، مما يسمح لهؤلاء الطلاب بالتفاعل والعمل المستقل مع المجالات والموضوعات العلمية التي تتحدى قدراتهم (أنيس الحروب ، 1999 ، ص171) . وفى مقدمة كتابه " الإثراء النفسي ، دراسة في الطفولة ونمو الإنسان " ، يرى سيد أحمد عثمان (1994) أن الإثراء النفسي يُقصد به عمل الوسط الغنى ، بالاستثارة والاستجابة ، لإنهاض الوجود النامي للطفل بالإيجابية والمجاوبة ، فالإثراء النفسي للطفل ليس إضافة كمية ، بل هو دعوة اكتمالية ، أنه ليس تزويداً للطفل بما ينقصه ، بل هو تنبيه له إلى مستوى أعلى يتحرك إليه ، وهو مصطلح مستغرق لما سواه من المصطلحات النفسية المشابهة ، ولا يقف عند جانب واحد من جوانب الوجود النفسي للطفل ونشاطه ، بل يشمل الطفل كله ، حسياً ، وحركياً ، ومعرفياً، وانفعالياً، واجتماعياً ، وأخلاقياً ، وجمالياً ، ودينياً. ويشترك كلا النوعين من الإثراء في كثير من الخصائص ، فكلاهما يركز على نشاط التلميذ وإيجابيته ، وعلى الإضافة إلى معارف التلميذ وأفكاره ومشاعره وأحاسيسه وسلوكياته ومهاراته ، وكلاهما يبث الحيوية والفعالية في البيئة التعليمية والمواد التعليمية المستخدمة بها ، وكلاهما يؤكد على وفرة وغزارة المثيرات والمحفزات التعليمية التي يجب استخدامها لاستثارة دوافع التلاميذ نحو التعلم . ولكنهما قد يتباينا في محور تركيز واتجاه فعل عملية الإثراء بكل منهما . فبينما يكون الإثراء التربوي موجهاً نحو المناهج المدرسية وطرق التدريس والبيئة التعليمية ، يكون الإثراء النفسي موجهاً نحو النفس البشرية بكل جوانبها . وقد يعنى ذلك وجود علاقة متبادلة بينهما ، فالإثراء التربوي القائم على اللعب والنشاط ، هو أحد الموجهات الناجحة لتحقيق الإثراء النفسي لدى التلاميذ ، والإثراء النفسي المبكر لدى هؤلاء التلاميذ في مرحلة الطفولة ، يعتبر عاملاً مساعداً مهماً على نجاح الإثراء التربوي معهم في مراحل التعليم اللاحقة. (1-2) الأنشطة الإثرائية ومناهج الرياضيات : إن الاهتمام بالأنشطة التعليمية والإيمان بدورها الأساسي في العملية التعليمية ، ليس وليد العصر الحاضر. فقد اهتمت التربية الحديثة بإدخال الأنشطة التعليمية في المنهج الدراسي ، باعتبارها عنصراً أساسياً من عناصر المنهج ، وترتب على ذلك أن النظرة إلى المنهج بأنه جميع الأنشطة التي تقدمها المدرسة لطلابها ، ما زالت هي النظرة السائدة لدى التربويين (إبراهيم بسيونى عميرة ، 1991 ، ص 45 – 46) . فالنشاط هو معايشة التلاميذ للموقف التعليمي ، والإحساس به ، والتفكير فيه ، باستخدام الخبرات السابقة المتوفرة لديهم ، وصولاً إلى خبرات جديدة لها معنى ووظيفة بالنسبة للفرد . وشهدت مناهج الرياضيات في العقد الأخير من القرن العشرين اهتماماً ملحوظاً بالأنشطة الإثرائية ، فقد قام كل من بوسامنتر وستيبلمان (Posamenter and stepleman , 1991 , pp. 177-404 ) بإعداد مجموعة من الأنشطة الرياضية في صورة وحدات إثرائية مصغرة ، بلغت 113 وحدة ، تتناول فروع الرياضيات المختلفة ، وقاما بتصنيف هذه الوحدات وفق فرع الرياضيات الذي تنتمي إليه ، ومستوى القدرة الرياضية لدى التلميذ الذي يرغب في دراستها ، وموضوع الرياضيات الذي تدور حوله ، وكان من بين هذه الموضوعات تطبيقات الرياضيات في الحياة اليومية ، حل المشكلات، الطموح وحب الاستطلاع ، والإبداع في الرياضيات . ولتنمية مهارات حل المشكلة الرياضية لدى تلاميذ الصفوف الثاني حتى الثامن قام تشانسلر (Chanceller , 1992) بإعداد مجموعة من الأنشطة الإثرائية ، المتدرجة في محتواها ومستواها من الصف الثاني حتى الصف الثامن ، وموزعة على الأسابيع الدراسية ، ولها خطة موازية للخطة الدراسية المعتادة . وتضمنت هذه الأنشطة مشكلات رياضية مفتوحة النهاية ، وألعاباً رياضية ذكية تجعل الطلاب منشغلين معظم وقت الدرس بأعمال ممتعة ، ينشطون عليها بطرق فردية أو تعاونية. وقامت آن جوشا (Joshua , 1993) بإعداد برنامج في الأنشطة الإثرائية المناسبة لتدريس الرياضيات للتلاميذ بمراحل التعليم العام ، وأشتمل ذلك البرنامج على مجموعة كبيرة من الأنشطة الإثرائية المتنوعة في محتواها ومستواها ، والموضوع الرياضي الذي تتناوله ، ولكل نشاط إثرائي من هذه الأنشطة ، تم تحديد التلميذ المستهدف من حيث العمر الزمني ومستوى القدرة الرياضية المناسبة للاستفادة من النشاط ، وصُنفت الأنشطة إلى أربعة مستويات (أ ، ب ، جـ ، د) متدرجة وفق العمر الزمني للتلميذ ، وتم تخصيص أربعة كتب للأنشطة الإثرائية ، بواقع كتاب واحد لكل مستوى من تلك المستويات ، ويشتمل كل منها على أنشطة إثرائية ممتدة. ولإثراء مناهج الرياضيات في مدارس دول الخليج العربي ، تم أثناء إعداد المناهج الموحدة في الرياضيات لهذه الدول ، تخصيص كتاب للنشاط التعليمي ، يتضمن أنشطة تمهيدية لبعض الأفكار الرياضية ، وبعض القراءات الإضافية في إطار موضوعات المنهج ، كما يتضمن أنشطة علاجية تخدم التلاميذ الذين هم ذوى المستوى العادي ، وأخرى إثرائية تخدم التلاميذ الذين هم فوق المستوى العادي ، ويتضمن الكتاب أيضاً أنشطة تدعيمية لجميع التلاميذ ، كما تضمن محتوى الكتب الدراسية في الرياضيات ، بعض الموضوعات الرياضية الإثرائية الاختيارية، وفق رغبات وميول التلاميذ أثناء دراسة حصص الرياضيات (عبد الفتاح الشرقاوى ، 1997 ، ص 41) . وخلال الأعوام من 1995 إلى 1998 قام وليم عبيد وفريق من الباحثين بإعداد مجموعات من الأنشطة الإثرائية المناسبة للتلاميذ بمدارس وزارة التربية بدولة الكويت (وليم عبيد ، 1995 – 1998) . وخلال العقد الأخير من القرن العشرين قام عدد من الباحثين بكليات التربية في مصر بإعداد أنشطة وبرامج إثرائية متنوعة تناسب فروع الرياضيات المختلفة وتصلح للاستخدام بجميع المراحل التعليمية ، وأظهرت نتائج تجريب هذه الأنشطة والبرامج آثاراً إيجابية على التحصيل الدراسي ، والتفكير الابتكارى ، وحل المشكلات الرياضية . وفى مراكز وزارة التربية والتعليم تم إنشاء شُعب خاصة بالأنشطة والمسابقات المنهجية التي تهدف إلى إثراء تدريس المناهج المختلفة ، وخاصةً الرياضيات والعلوم . (1-3) أهمية الأنشطة الإثرائية : ترجع أهمية النشاط التعليمي عامة ، إلى أنه ينقل المتعلم من حالة التلقي السلبي إلى حالة التفاعل الإيجابي أثناء الحصة الدراسية ، ويُعد إدخال الأنشطة الإثرائية في المنهج الدراسي، أحد الاتجاهات المعاصرة لتطوير مناهج الرياضيات بمراحل التعليم العام، تحقيقاً لمبدأ الرياضيات للجميع ، والذي يتطلب تضمين المحتوى الرياضي بعض الأنشطة الإثرائية التي تخصص للطلاب فوق المستوى العادي ، وإعداد بعض الكتيبات ذات الصلة بمادة الرياضيات وتطبيقاتها الحياتية المختلفة ، بحيث تتضمن أنشطة محببة إلى نفوس التلاميذ ، وتنمى اتجاهاتهم نحو دراسة المادة ، ومنها المغالطات الرياضية والألغاز الذهنية والألعاب الذكية (عبد الفتاح الشرقاوى ، 1997، ص 41) . وفى هذا الصدد ، يمكن القول أن ضعف ميول بعض التلاميذ نحو دراسة الرياضيات ونفورهم منها وفشلهم في دراستها ، يعود في الجانب الأكبر ، إلى ندرة استخدام الأنشطة الإثرائية في المدارس ، ولذلك يوصى كل من شارب وجاكسون (Sharp&Jackson, 1993,p. 2284) المعلمين الذين يرغبون في رفع ميول طلابهم نحو تعلم الرياضيات في الفصل الدراسي ، أن يحرصوا على تضمين شروحهم بعض الأنشطة الإثرائية، وخاصة الأنشطة القائمة على حل المشكلات الرياضية غير الروتينية والألغاز الذهنية الذكية. وترجع أهمية استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات ، إلى أنها تُحقق تأثيرات إيجابية كثيرة على نواتج التعلم المرغوب فيها ، قد تفشل الطريقة المعتادة في التدريس في تحقيقها في أغلب الأحيان ، نظراً لخلوها من حل المشكلات الرياضية غير الروتينية ، ونُدرة استخدام الألعاب العقلية أو الألغاز الذهنية بها . ويؤكد ذلك ، ما يلاحظه المدرسون الذين يطورون أنشطة رياضية ابتكارية ويستخدمونها أثناء تدريس الرياضيات ، من تغيرات إيجابية في اتجاهات تلاميذهم نحو حل المشكلات الرياضية ، ومستوى القدرة الرياضية، بالإضافة إلى القدرة على التفكير الابتكارى لديهم ( Tharp, 1991 , P. 836 ) . وبذلك يتضح أن الأنشطة الإثرائية ، باعتبارها جزءاً أساسياً من المنهج المدرسي ، هي أنشطة غير روتينية تستخدم لتوسيع المجال المعرفي لدى الطلاب ، وتنمية الكفاءات والمهارات الأساسية ، ودعم المقررات الدراسية بموضوعات إضافية ، وتعزيز المنهج الاختياري من خلال الاشتراك في الفعاليات المختلفة ، ودعم عمل الطلاب داخل وخارج المدرسة . وتتسم هذه الأنشطة بأنها أنشطة غير روتينية يمكن تنفيذها داخل غرفة الصف ومنها على سبيل المثال لا الحصر : تمييز الأشياء غير المألوفة من الأشياء المألوفة ، تقوية وتعزيز الأشياء المألوفة ، التأمل في الأشياء التي حدثت في الماضي وفى الأشياء التي ستحدث في المستقبل ، التنبؤ بالمستقبل ، الاهتمام بالفضول وحب الاستطلاع ، الاهتمام بالإبداع والابتكار ، تمييز الأشياء الضرورية عن الأشياء غير الضرورية ، جمع المعلومات لاتخاذ القرارات ، التخطيط لمشروع مستقبلي ، تعلم المجابهة مع المشكلات الحياتية وحلها بطرائق إبداعية . وفى هذا الصدد يرى أنيس الحروب (1999 ، ص 245) أن الأنشطة الإثرائية تعزز التحصيل الدراسي وتهتم بالعمليات العقلية العليا ، وتُوسع الاهتمامات الثقافية في المدرسة ، وتُقوى الأداء الإبداعي ، وتُعرف الطفل بالأفكار المتعددة في جميع نواحي الحياة ، وتُوسع الاهتمامات الثقافية للطلاب خارج المدرسة ، وترفع مستوى فهم الذات ومستوى الطموحات ، وتُحسن الوضع الاجتماعي للطالب بين رفاقه ، وتُحفز احترام الطلاب للبرنامج التعليمي الذي يتعلمون من خلاله واحترام المناخ التعليمي القائم . وبذلك تُساهم الأنشطة الإثرائية في زيادة استمتاع الطلاب بالحياة المدرسية ، وتقليل الملل الذي يعانى منه البعض في المدرسة العادية ، وتكوين اتجاهات أفضل لديهم نحو التربية وأنشطتها وتعزيز الشعور بقيمة الذات ، وقيمة النجاح في العمل ، وزيادة فرص تحفيز الطاقات الكامنة لدى الطلاب . (1-4) أهداف استخدام الأنشطة الإثرائية في التدريس : تهدف الأنشطة الإثرائية إلى تحفيز الطلاب ومساعدتهم على مواصلة دراسة الموضوع الرياضي الذي يتناوله كل نشاط ، كما تهدف إلى توفير فرص مناسبة للطلاب يمارسون فيها العمل على أبحاث رياضية مبسطة ، وتعميم حلول المشكلات الرياضية التي يتوصلون إليها . ومن أهداف الأنشطة الإثرائية أيضاً تحسين استخدام الطلاب للأساليب الرياضية المتنوعة القابلة للتطبيق عند حل المشكلات الحياتية التي تواجههم داخل المدرسة وخارجها ، وتُسهم الأنشطة الإثرائية أيضاً ، في تحسين مهارات حل المشكلات الرياضية ورفع مستوى القدرة الرياضية الابتكارية لدى الطلاب ( Joshua ,1993 b , p.5) . وتُتيح الأنشطة الإثرائية للطلاب ، فرصاً مناسبة يمارسون فيها المهارات الرياضية ، ويتقنون من خلالها المفاهيم ، ويطورون الخطط والاستراتيجيات الرياضية التي يعتمد عليها أسلوب حل المشكلات لديهم ، ومن هذه الاستراتيجيات : استراتيجية التقدير ، اختيار الطريقة المناسبة للحل ، تبسيط المسائل الصعبة ، البحث عن النموذج المناسب ، التعليل ، وفرض الفروض واختبارها . وتسهم الأنشطة الإثرائية في تطوير الخيال ، التنظيم ، الاستقلال ، التعاون ، المثابرة ، والإبداع لدى المتعلم ، وجميعها ضرورية للمواقف الإيجابية الفعالة التي يتخذها الطلاب أثناء الدرس وتؤكد على رغبتهم في التعلم . والأنشطة الإثرائية مفتوحة النهاية ، تُشجع الطلاب على تحديد أهدافهم الدراسية وبناء ابتكاراتهم الخاصة ، والتعبير عن أفكارهم الرياضية في استقلال وحرية ، دون قواعد مقيدة أو منمطة ، تفرض قيوداً على أنشطة الطالب وأفكاره ( Dyches,1994, p. 22) وتُحفز الأنشطة الإثرائية الحاسة العددية لدى الطلاب ، مما يؤدى إلى تحسن قدراتهم على إجراء الحسابات الذهنية السريعة ، وزيادة ثقتهم بأنفسهم أثناء إجراء العمليات الرياضية المتنوعة . وبذلك يتضح أن الأنشطة الإثرائية في مجال تدريس الرياضيات تهدف إلى تنمية المهارات الرياضية المختلفة لدى التلاميذ ، ومن بينها مهارات حل المشكلات الرياضية ، والتخطيط الذكي للحل ، وإعادة التعرف على الأنماط والتراكيب الرياضية واستكشافها . كما يمكن أن يكتشف التلاميذ المفاهيم الرياضية ، من خلال مشاركتهم في العمل على الأنشطة الإثرائية . وتُقدم الأنشطة الإثرائية للتلاميذ ، العديد من الفرص التعليمية التي يستطيعون من خلالها ممارسة مهارات إجراء العمليات الحسابية المعقدة بطرائق بسيطة سريعة تتسم بالأصالة والجدة . وبصفة عامة ، يمكن تحديد أهداف استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات ، على النحو التالي : 1- التخفيف من صعوبة بعض موضوعات الرياضيات المجردة . 2- استثارة الفضول وحب الاستطلاع الرياضي لدى الطلاب . 3- تعميق فهم الطلاب للموضوعات الرياضية المختلفة . 4- مساعدة الطلاب على تحصيل الرياضيات على المستويات العقلية العليا . 5- تنمية القدرات الإبداعية لدى الطلاب وخاصة المتفوقين منهم . 6- اختزال الخوف الذي يصاحب دراسة الرياضيات ، وخاصة لدى الطلاب منخفضي القدرة على التحصيل الدراسي . 7- مساعدة المعلمين على إثراء تدريس الرياضيات بأنشطة رياضية مبدعة . 8- المساهمة في إثراء مناهج الرياضيات بالمراحل التعليمية المختلفة . (1-5) معايير اختيار الأنشطة الإثرائية واستخدامها في التدريس : تخضع عملية اختيار الأنشطة التعليمية بصفة عامة إلى مجموعة من المعايير من أهمها: الصدق ، الشمول ، التنوع ، الملائمة ، التوازن ، الاستمرارية ، التراكم ، والارتباط الوثيق بالحياة . والنشاط التعليمي المناسب هو النشاط الذي يرى المتعلمون إمكانية استخدامه لتحقيق أغراضهم ، ويرى المعلمون أنه يؤدى إلى الغايات التربوية المرغوبة التي يريدون تحقيقها ، ويناسب مستوى نضج التلاميذ ، ويمكن تنفيذه في إطار إمكانيات الفصل أو المدرسة ، ويحقق مع الأنشطة الأخرى ، التنوع الذي يسهم في النمو المتوازن للتلاميذ ، ويسهم في مراعاة الفروق الفردية بينهم (إبراهيم بسيونى عميرة ،1991 ص 224- 245) . وكما تستند عملية اختيار الأنشطة التعليمية إلى مجموعة من المعايير ، فإن ممارسة هذه الأنشطة تستند أيضاً إلى مجموعة من المعايير من أهمها : إتاحة الفرص للمتعلمين لمعرفة أنواع الأنشطة ، واختيار ما يتمشى منها مع ميولهم ، ضرورة حفز المتعلمين إلى المجالات التطبيقية التي تجعلهم يفكرون ، ضرورة اعتبار الأنشطة امتداداً للبرامج التربوية التي يتعرض لها المتعلم داخل الصف ، ضرورة مراعاة طاقات المتعلمين وقدراتهم ، ضرورة توفير الأدوات والمعدات اللازمة لممارسة النشاط ، ضرورة توجيه الأنشطة إلى ميادين الإنتاج الهادفة ، وضرورة توافر برامج ومناهج للنشاط تتدرج وتتفق مع مراحل النمو المختلفة التي يمر بها التلاميذ (حسن شحاتة ، 1994 ، ص 95 – 96) . وبذلك يتضح أن اختيار الأنشطة يتم أثناء تصميم المناهج وتخطيطها ، ويعتمد على المستويين التخطيطي والتنفيذي على عدة معايير منها : ارتباط النشاط بعناصر المنهج المختلفة ، ارتباط النشاط بحاجات واهتمامات وميول التلاميذ ، إتاحة النشاط الفرض للجميع للمشاركة الإيجابية ، إثارة النشاط لمشكلات تكون موضع دراسة وتحليل ، حاجة النشاط إلى استخدام مصادر متنوعة غير الكتب الدراسية ، اعتماد النشاط على الجهد الفردي أحياناً وعلى الجهد الجماعي أحياناً أخرى ، تنفيذ النشاط من خلال التخطيط المشترك بين المعلم والتلاميذ ، وتمكن المعلم من كفاءات تخطيط النشاط وتنفيذه . ونظراً لأن الأنشطة الإثرائية تندرج تحت الأنشطة التعليمية ، فإن المعايير السابقة تنطبق عليها . وفى ضوء ذلك ، يمكن تحديد معايير اختيار الأنشطة الإثرائية المناسبة لتدريس الرياضيات على النحو التالي : 1- ارتباط كل نشاط بعناصر منهج الرياضيات الذي يدرسه التلاميذ . 2- مناسبة النشاط الإثرائى للمستوى العقلي للتلاميذ وارتباطه بالخلفية الرياضية لديهم . 3- مراعاة النشاط للفروق الفردية بين التلاميذ ، من خلال التنوع في المحتوى والمستوى الرياضي . 4- توافر المواد التعليمية اللازمة لإجراء الأنشطة الإثرائية في الفصل أو المدرسة حتى يمكن تنفيذها بسهولة ويسر . 5- دعم النشاط الإثرائى لمفاهيم رياضية سبق للتلاميذ دراستها ومساعدتهم على اكتشاف مفاهيم رياضية جديدة . 6- استثارة الأنشطة الإثرائية لتفكير التلاميذ وتحدى قدراتهم الرياضية . 7- تعددية الأنشطة الإثرائية وحرية التلاميذ في الاختيار منها والعمل عليها . 8- إمكانية العمل على النشاط الإثرائى بصورة فردية أو في مجموعات صغيرة ، أو الفصل الدراسي بكامله . 9- ارتباط النشاط الإثرائى بالبيئة والمجتمع الذي يعيش فيه التلميذ . 10- جذب اهتمام وانتباه التلاميذ أثناء دراسة الرياضيات . (1-6) تصنيفات الأنشطة الإثرائية : تصنف الأنشطة التعليمية عامة إلى عدة تصنيفات ، تختلف باختلاف المعيار الذي يتم من خلاله التصنيف ، ومن هذه التصنيفات : تصنيف الأنشطة على أساس المكان الذي تمارس فيه : أنشطة صفية (أنشطة منظمة داخل الصف) ، وأنشطة غير صفية (أنشطة حرة خارج الصف) ، وعلى أساس حجم المشاركين في النشاط : أنشطة تقوم بها مجموعات كبيرة ، أو صغيرة ، أو فرد واحد ، وعلى أساس الأهداف التي يُرجى تحقيقها من النشاط : أنشطة للحصول على المعلومات ، وتنمية المهارات ، وتحقيق الأهداف الوجدانية، وتكوين المفاهيم والتعميمات . ومع انطباق بعض جوانب هذه التصنيفات على الأنشطة الإثرائية ، فإن لها تصنيفات إضافية خاصة بها (Posamenter and Stepleman, 1991, p. 178 ) , ( Joshua , 1993 c , p. 5 ) , تتضح مما يلي : 1- أنشطة إثرائية تناسب مستوى القدرة الرياضية لدى التلاميذ وتشمل : أ – الأنشطة الإثرائية للتلميذ الضعيف . ب- الأنشطة الإثرائية للتلميذ متوسط القدرة . جـ- الأنشطة الإثرائية للتلميذ المتفوق . 2- أنشطة إثرائية لفروع الرياضيات المختلفة وتشمل : أ – الأنشطة الإثرائية في الأعداد والحساب . ب- الأنشطة الإثرائية في الهندسات الإقليدية واللاإقليدية . جـ- الأنشطة الإثرائية في الجبر والمنطق الرياضي . د – الأنشطة الإثرائية في الإحصاء والاحتمالات . 3- أنشطة إثرائية للصفوف الدراسية المختلفة وتشمل : أ – أنشطة إثرائية للتلاميذ في الصفوف من السابع حتى العاشر . ب- أنشطة إثرائية للتلاميذ في الصفوف من الثامن حتى الحادي عشر . جـ- أنشطة إثرائية للتلاميذ في الصفوف من التاسع حتى الثاني عشر . د – أنشطة إثرائية للتلاميذ في الصفوف من العاشر حتى الثالث عشر . 4- أنشطة إثرائية للموضوعات الرياضية المختلفة وتشمل : أ – أنشطة إثرائية في استخدام وتطبيق الرياضيات . ب- أنشطة إثرائية في الأشكال والفراغ . جـ- أنشطة إثرائية في تنظيم البيانات . د – أنشطة إثرائية في التواصل الرياضي بين التلاميذ . هـ- أنشطة إثرائية في التقدير والتقريب العددي . و - أنشطة إثرائية في النماذج والعلاقات الجبرية . ز - أنشطة إثرائية في القياسات الهندسية . ويتضح مما سبق ، أن الأنشطة الإثرائية المناسبة لتدريس الرياضيات ، يمكن تصنيفها وفق الأبعاد التالية : 1- فروع الرياضيات المختلفة : وتشمل أنشطة إثرائية في الحساب ، نظرية الأعداد ، الجبر المجرد ، الهندسة المستوية ، الإحصاء والاحتمالات ، حل المشكلات ، التطبيقات الرياضية، والطموح الرياضي . 2- المراحل الدراسية المختلفة : وتشمل أنشطة إثرائية للمرحلة الابتدائية وأنشطة إثرائية للمرحلة الإعدادية بصفوفها الدنيا والعليا ، وأنشطة إثرائية للمرحلة الثانوية بصفوفها الدنيا والعليا . 3- مستويات القدرة الرياضية المختلفة : وتشمل أنشطة إثرائية للتلاميذ مرتفعي القدرة ، والتلاميذ متوسطي القدرة ، والتلاميذ منخفضي القدرة على التحصيل الدراسي . (1-7) مجالات الأنشطة الإثرائية : تتعدد مجالات الأنشطة الإثرائية وتختلف أشكالها . فالنشاط الإثرائى يمكن أن يأخذ شكل مغالطات أو معضلات رياضية ، ألعاب أو ألغاز رياضية ، قصص تاريخية في مجال الرياضيات ، نوادر رياضية ، مشروعات طلابية ، تصميم مشكلات رياضية ، حل مشكلات رياضية غير روتينية ، نشاط على الكمبيوتر . وترى آن جوشا ( Joshua , 1993 d , p. 5 ) أن المجال الرئيس للأنشطة الإثرائية في الرياضيات ، هو المشكلات الرياضية غير الروتينية ، في حين يرى شارب وجاكسون (Sharp and Jackson, 1993, p. 2284) ، أن أبرز مجالات الأنشطة الإثرائية ، هي المشكلات الرياضية والألغاز وتدريبات الاستقصاء الرياضي. ويتضح مما سبق ، أن الأنشطة الإثرائية في الرياضيات ، يمكن أن تأخذ أحد الأشكال التالية : الألعاب ، الألغاز ، الطرائف والغرائب ، السيرك الرياضي ، نوادي الرياضيات ، المشكلات الرياضية غير الروتينية ، المشروعات ، التطبيقات الحياتية ، المغالطات ، القصص التاريخية ، الاستخدامات غير المألوفة لكل من : الآلة الحاسبة ، والحاسب الآلي . والألعاب الرياضية ، هي أحد مجالات الأنشطة الإثرائية التي تُحفز التلاميذ على دراسة الرياضيات بشكل مناسب ، سواء كانوا أفراداً أو جماعات صغيرة أو على مستوى الفصل الدراسي بكامله ، نظراً لأنها تتحدى قدراتهم ، وتجعلهم يفكرون في المشكلات الرياضية من خلال بيئة تعليمية مرنة ، يستمتع بها التلاميذ مقارنة بالبيئة الصفية المعتادة . وتُعرف اللعبة الرياضية ، بأنها وسيلة لعمل ممتع ، له أهداف رياضية معرفية معينة قابلة للقياس ، وأهداف رياضية وجدانية ، يمكن مشاهدتها ، ويرى عزو عفانه (1996 ، ص 82 – 83) أن الألعاب الرياضية تُصنَّف وفق الهدف من استخدامها في تدريس منهج الرياضيات ، إلى : - ألعاب لتعلم لغة الرياضيات - ألعاب لاستخدام الرموز الرياضية - ألعاب لتعزيز المفاهيم الرياضية - ألعاب لحل الألغاز الرياضية - ألعاب المربعات السحرية - ألعاب لممارسة المهارات الرياضية - ألعاب لإثارة المناقشات الرياضية - ألعاب لابتكار الاستراتيجيات الرياضية ومن المجالات الأساسية للأنشطة الإثرائية في الرياضيات ، الألغاز الرياضية ، وقد انتشر استخدامها بين القائمين على تدريس الرياضيات ويرجع سبب اهتمام التلاميذ بالألغاز الرياضية ، إلى أنها تجعلهم نشطين ، ملاحظين للمشكلات ، واعين لأبعادها ، عاملين فكرهم حولها ، ومشاركين في التوصل إلى حلول إبداعية لها . وبناء على ذلك يمكن تضمين مناهج الرياضيات في جميع المراحل التعليمية ، بعض الألغاز الرياضية والمنطقية، التي تُنمى القدرة على التقدير الحسابي السريع لدى التلاميذ . والمشكلات الرياضية غير الروتينية ، مصدر آخر من مصادر الأنشطة الإثرائية ، نظراً لأنها تستثير اهتمام التلاميذ ، وتوفر لهم فرصاً يمارسون فيها الحلول الرياضية ، باستراتيجيات أصلية جديدة ومتنوعة ، ومن الاستراتيجيات العامة لحل هذه النوعية غير الروتينية من المشكلات الرياضية : استراتيجية المحاولة والخطأ ، والقوائم المنظمة ، والتبسيط، والبحث عن القاعدة ، والتجريب ، والاستنتاج ، والحل العددي ، والاستراتيجية العكسية ، ومن الاستراتيجيات المُعينة التي يستطيع التلميذ أن يستخدمها عند حل المشكلات الرياضية غير الروتينية : الرسوم البيانية ، والجداول ، والأشكال ، والقوائم ، والمعادلات ، والآلة الحاسبة ، والحاسب الآلي . ويجب ملاحظة أن الأنشطة الإثرائية تتميز بإمكانية حلها بأكثر من استراتيجية ، وعلى المعلم ألا يُجبر التلاميذ على استخدام استراتيجية معينة في الحل ، حتى لا يتسبب ذلك في حرمانهم من ممارسة والأصالة والمرونة والطلاقة الفكرية عند حل المشكلات الرياضية ، ويقلل بالتالي من فرص الإبداع الرياضي لديهم . ويتميز تاريخ الرياضيات بوفرة الأمثلة التاريخية التي تساعد على فهم الرياضيات وتنمية الحس التاريخي الذي يربط المعارف الرياضية ببعضها ، وهو وسيلة فعالة لمساعدة المدرس على إثارة التساؤلات حول تطور الأفكار الرياضية عبر العصور والحضارات الإنسانية . ويعتقد الكثير من المدرسين أن تاريخ الرياضيات يُثرى تدريس الرياضيات ، حيث أن احتواء المقررات الدراسية لبعض المعلومات التاريخية عن حياة وأعمال الرياضيين المبدعين ، يضفى حيوية على هذه المقررات ويشجع التلاميذ على دراستها . ويرى بيدول ( Bidwell , 1993 , p. 461 ) ، أن تاريخ الرياضيات مجال ثرى يحقق المعايير والمستويات الواجب توافرها في الرياضيات المعاصرة ، وهى الاتصال ، والربط ، وأهمية الرياضيات . فالطلاب يتناقشون حول الحقائق التاريخية شفهياً أو كتابة (الاتصال) ، ويربطون الرياضيات بالثقافات المختلفة (الربط) ، ويشعرون بأهمية الرياضيات وامتدادها من الماضي إلى الحاضر (أهمية الرياضيات) . ويزود تاريخ الرياضيات المعلمين بعدد وافر من الأمثلة التي تساعد على إثراء وتدعيم المقررات الدراسية ، فضلاً عن أن الأنشطة المرتكزة عليه تعتبر مناسبة لكل مستويات التلاميذ، مما يكسبهم خبرة التجريب والإبداع والاكتشاف ، ويجعلهم قادرين على تذوق طبيعة الرياضيات ووضوح منطقها . (1-8) الأنشطة الإثرائية للطالب الضعيف : من مصادر الأنشطة الإثرائية للطالب الضعيف ، التطبيقات المناسبة للرياضيات التي درسها ، حيث يجد المعلم دائماً فرصاً لإثراء عملية التعلم ، سواء كان الطالب يتعرض لبرنامج علاجي أو يتعرض للتدريس المعتاد . ويُنظر إلى هذا النوع من الإثراء على أنه ابتعاد بسيط مؤقت عن المنهج المقرر . وتُمد التطبيقات الحقيقة المناسبة للرياضيات التي درسها الطلاب بمصدر غنى للإثراء . ومن أبرز أمثلة هذا النوع من التطبيقات إثراء المفاهيم الأساسية في الهندسة ، حيث يقوم التلاميذ بقياس مباشر أو غير مباشر للأبنية في بيئتهم المحلية ويقوم المدرس بتكليفهم بحساب مساحات وحجوم هذه الأبنية باستخدام البيانات التي حصلوا عليها بأنفسهم ( Hall, 1999, p. 48 ; Hoyles, et al. 1999 b, p. 235). والرياضيات التحفيزية مصدر آخر من مصادر إثراء الرياضيات للطالب الضعيف . ويقصد بها عامة الرياضيات التي يشعر الطلاب بأهميتها من تلقاء أنفسهم ويمكن تعزيز تدريس الرياضيات وبث الحماس لدى الطلاب نحو دراستها من خلالها ، ومن أمثلة هذا النوع من الإثراء استخدام المربعات السحرية بمختلف أنواعها في إثراء عمليات الجمع العددي بطرائق وتدريبات غير مألوفة ( Kosniowski, 1999, p. 11 ) . ويمكن اعتبار النتائج الجيدة التي يتوصل إليها الطالب الضعيف أثناء دراسته للقصص التاريخية في ثنايا الدرس اليومي المعتاد ، أحد مداخل إثراء التدريس لهذه النوعية من الطلاب . فقد يهتم هؤلاء الطلاب بموضوع رياضي أكثر من غيره إذا استطاعوا معرفة أصوله التاريخية وتطوره عبر العصور ( محمود بدر ، 1999 ، ص 60 ) . ويستطيع المعلم الرجوع إلى كتب تاريخ الرياضيات التي تمده بأفكار مفيدة ، ويمكنه من خلالها إثراء التدريس وتضمين أجزاء قصيرة من تاريخ الرياضيات في حصصه الدراسية . ومن بين هذه الكتب ما يتناول رجال في الرياضيات ، تاريخ النسبة التقريبية ط ، تراثنا الرياضي والرياضيين العظام … الخ . ويمكن استخدام الرحلات الميدانية ، بشكل مباشر أو غير مباشر ، في إثراء التعلم للتلاميذ الضعاف ، وكذلك الأفلام ، شريطة تقديمها بشكل جيد ومراجعتها بدقة وكلاهما يوفر مصدراً فعالاً لإثراء تعليم الرياضيات لهذه النوعية من التلاميذ . (1-9) الأنشطة الإثرائية للطالب المتوسط : بقليل من التعديل ، يمكن استخدام مداخل إثراء تدريس الرياضيات للطلاب الضعاف مع الطلاب متوسطي القدرة على التحصيل الدراسي . وتأخذ هذه التعديلات في اعتبارها مستوى الميول والقدرات والطموحات لدى هذه المجموعة من الطلاب . ويعنى ذلك أن التطبيقات الرياضية المختارة ، على سبيل المثال ، يجب أن تكون أكثر تعقيداً ، والموضوعات التحفيزية المختارة يجب أن تكون أكثر تحدياً ، والأجزاء التاريخية المستخدمة يجب أن تكون أكثر شمولاً، حيث يجب أن تتجاوز مرحلة سرد القصص التاريخية إلى تحليل هذه القصص وفهمها والتعليق عليها . ويتطلب إثراء التدريس للطلاب متوسطي القدرة على التحصيل الدراسي توفير مقررات خاصة في برمجة الكومبيوتر، خاصة مع رخص أسعار أجهزة الكومبيوتر هذه الأيام . ويمد هذا المقرر الطلاب بمدخل عالي التنظيم للاستدلال ، والتخصص في مجال المعارف الرياضية ، ويعطيهم فرصة لمراجعة الموضوعات التي تعلموها مسبقاً (Smith, 1998 ) . ومن المقررات الخاصة الأخرى التي يمكن من خلالها إثراء تعليم الرياضيات للطلاب متوسطي القدرة ، مقرر تاريخ الرياضيات ، ويتحدد مستوى هذا المقرر ومدى تداخله مع المقررات الفعلية للرياضيات التي يدرسها الطلاب بواسطة ميولهم وقدراتهم المختلفة . فالطالب الذي يملك ميولاً مرتفعة يحتاج إلى فهم كيفية اكتشاف وتطور المفاهيم الرياضية التي يدرسها . (1-10) الأنشطة الإثرائية للطالب المتفوق : يوصف الطلاب المتفوقين في الرياضيات بأنهم أولئك الطلاب الذين يظهرون مستوى مرتفع من الذكاء والطموح العلمي والأداء الابتكارى والقدرة على التخصيص والتعميم ومستوى عال من التحصيل الدراسي في الرياضيات . ويشارك هؤلاء الطلاب في الأنشطة الرياضية الإضافية للمنهج التقليدي ، ويميلون إلى قرءاة كتب الرياضيات الحديثة ودوريات البحث فيها . وتقود هذه الأنشطة المستقلة هؤلاء الطلاب إلى مزيد من التحفيز والتشجيع ، كي يستمروا في متابعة موضوعات رياضية من خارج المنهج المعتاد ، وتعتبر جزءاً مصاحباً أكثر تقدماً من المنهج الذي يدرسونه . ويسعد المعلم كثيراً حين يلاحظ الطلاب المتفوقين وهم يصنعون اكتشافات رياضية أو يطورون مداخل غير تقليدية لدراسة موضوع ما أو حل مشكلة رياضية معينة . ويجب على المعلم أن ينمى هذا الأداء الإبداعي لدى الطلاب المتفوقين من خلال استخدام أنشطة إثرائية مختارة بشكل مناسب ( أحلام عبد العظيم ، 1998، ص 225). ويشير التوسيع إلى أحد مداخل إثراء تدريس الرياضيات للطلاب المتفوقين ، حيث يُسمح من خلاله للطلاب بالاندماج بعمق أكثر في دراسة الموضوعات الرياضية ، ويأخذ هذا التوسيع للمنهج المعتاد مكانه باعتباره جزءاً من التعلم اليومي لدروس الرياضيات ، ويكون هذا التوسيع جزءاً من برنامج أنشطة إضافية للمنهج الرياضي المعتاد ، ومن أمثلة هذا المدخل تدريس نظرية فيثاغورث التي يسمح التوسيع عند دراستها للطلاب ببحث البراهين المختلفة لهذه النظرية، وبحث تعميمها للمثلث الحاد والمنفرج الزاوية ، ودراسة خواص الثلاثيات الفيثاغورثية وتصنيف الأنماط المختلفة لهذه الثلاثيات وتعميم النظرية على قوانين جيوب التمام ، ويمكن توسيع دراسة الدائرة من خلال مناقشة تعريف وتطور حساب النسبة التقريبية ط ، وقد تقود تلك المناقشة إلى بعض النتائج الممتعة التي تعمق من فهم الطلاب لها . ويَنتج أحد المداخل الجيدة لإثراء تدريس الرياضيات للطلاب المتفوقين عندما يضع المدرس الموضوع المعتاد للدرس جانباً بشكل مؤقت ويهتم بموضوع آخر . ونظراً لأن الطلاب المتفوقين يمكنهم الإلمام بالموضوع المراد دراسته بسرعة أكبر من زملاءهم متوسطي القدرة فإن الكثير من الوقت يصبح متاحاً لتناول موضوع آخر مرتبط بالموضوع الأصلي قبل الاستمرار في دراسة موضوعات المنهج المعتاد . ونظراً لأن الإثراء بأنشطته المختلفة يجذب اهتمام التلاميذ ، فقد يُظهر المنهج التقليدي بأنشطته المعتادة مملاً في بعض الأحيان ، ولذلك يحاول المدرس الكفء ربط الأنشطة الإثرائية بالمنهج المعتاد ، ومن أمثلة الأنشطة الإثرائية التي تعتمد على هذا المدخل ما يحدث عند تدريس المعادلات التربيعية ، فبعد دراسة الطرق المختلفة لحل المعادلات التربيعية ، يقوم الطلاب بتعلم كيفية حل معادلات من الدرجات الأعلى وقد يفكرون في طرق حل بعض المعادلات التكعيبية ، وهو نشاط يحفز الطلاب المتفوقين ، وقد يقود ذلك النوع من الإثراء إلى تقدير الطلاب لأعمال الرياضيين القدماء. ويجب على معلمي الرياضيات أن يجمعوا المواد والأفكار المناسبة لإثراء تدريس الرياضيات ، وبصرف النظر عن مستوى القدرة الرياضية لدى الطلاب ، يجب عليهم توفير هذه الأنشطة الإثرائية دائماً . فكل معلم يجب أن يبذل جهداً ذكياً لإثراء التعليم نظراً لأن الأنشطة الإثرائية تكسب الطلاب الضعاف ومتوسطي القدرة تقديراً واعياً للرياضيات وتشجع الطلاب المتفوقين على الاستمرار في دراسة الرياضيات إلى أبعد من حدود موضوعات المنهج الدراسي المعتاد . (1-11) الأنشطة الإثرائية المناسبة لتدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية : من بين الأنشطة الإثرائية التي يمكن لمعلم الرياضيات بالمرحلة الإعدادية أن يستخدمها أثناء التدريس ما يلي : 1- بناء المربعات السحرية فردية الرتبة وزوجية الرتبة ، واستكشاف خواصها الرياضية وتحديد مجموع عناصر أي صف أو عمود أو قطر بها . 2- استخدام هذه المربعات في تدريس عملية الجمع في مجموعات الأعداد المختلفة بطريقة مشوقة للتلاميذ بالمرحلة الإعدادية . 3- تحديد الأعداد المناظرة للحروف الأبجدية ، واستخدامها في إجراء عمليات جمع الحروف والكلمات بطريقة تماثل جمع الأعداد والأرقام . 4- التعرف على الخصائص العجيبة لبعض الأرقام ، ومنها الرقم 9 ، واستخدام هذه الخصائص في اختصار إجراءات الحسابات المطولة التي تتضمن هذه الأرقام . 5- استخدام طرائق غير تقليدية لإجراء عملية ضرب الأعداد ، ومنها طريقة الضرب المتماثل لعددين متشابهين ، وطريقة قضبان نابير ، وطريقة المصريين القدماء . 6- استكشاف الأنماط العددية والهندسية وتحديد المعادلات الرياضية الكامنة وراء كل منها . 7- استخدام الصيغة الأسية في كتابة الأعداد الكبيرة جداً ، أو الصغيرة جداً ، بطرائق غير تقليدية والتعرف على المسميات الرياضية غير المألوفة لتلك الأعداد . 8- ترجمة العلاقات والقوانين الجبرية إلى أشكال هندسية توضحها وتفسرها ، وتبرهن على صحتها ، بطريقة شكلية تختلف عن الطرائق المتبعة في كتب الجبر . 9- اكتشاف المغالطات الهندسية للمثلث متساوي الساقين وتحديد الأسباب الكامنة وراء كل منها. 10- استخدام طرائق غير مألوفة في إثبات نظريات المثلث متساوي الساقين . 11- حل المعضلات الهندسية التي تبدو في ظاهرها سهلة ، ولكنها في حقيقة الأمر معقدة ، وتحتاج إلى كثير من الوقت والجهد بمداخل إبداعية سهلة الفهم . 12- اشتقاق النسبة التقريبية (ط) بأكثر من طريقة ، وبيان علاقتها بخصائص الدائرة . 13- بناء المستطيل الذهبي ، وتحديد النسبة الذهبية ، ودراسة الخواص الهندسية لكل منهما . 14- استخدام المثلث الذهبي في حساب مساحات الأشكال الهندسية المركبة ، وبيان علاقتها بالنسبة الذهبية . 15- اكتشاف المغالطات الرياضية في الإثباتات والبراهين الهندسية ، وتقديم التبريرات المناسبة لها . 16- اكتشاف الكسور الاعتيادية ذات الخواص العجيبة ، وإثبات هذه الخواص بشكل رياضي. 17- استخدام الطرائق الهندسية في إثبات صحة المتساويات الجبرية بأساليب ممتعة تثير اهتمام الطلاب وتزيد من دافعيتهم نحو تعلم الجبر . 18- حل المعادلات التربيعية بطرق جديدة غير مألوفة بكتب الجبر المقررة . 19- تحديد المغالطات الرياضية في الإثباتات الجبرية وتبريرها بشكل رياضي صحيح وتحديد الأسباب الكامنة وراءها . 20- إيجاد قوا سم عدد ما بطرائق متعددة بدون الحاجة إلى إجراء عمليات القسمة المطولة التقليدية . 21- اشتقاق قواعد سريعة لاختبار قابلية القسمة على الأرقام والأعداد من 2 حتى 49 . 22- استخدام الاستراتيجيات العكسية في حل المشكلات الرياضية غير الروتينية . 23- إيجاد العدد الصحيح المناظر لأي مضلع هندسي ورسم المضلع الهندسي الذي يناظر أي عدد صحيح . 24- استخدام كل من مثلث باسكال وهرم باسكال في إيجاد قيم بعض المقادير الجبرية غير البسيطة . 25- إيجاد حل المعادلات التكعيبية في شكليها الرمزي أو اللفظي بطريقة غير روتينية . 26- استخدام طرق الهنود القدماء في إجراء العمليات الحسابية الأربع الأساسية وبعض العمليات الحسابية الأعلى . 27- حل بعض المشكلات الفيزيقية ( المشكلات الحياتية ) باستخدام الأعداد المركبة والكميات المتجهة والمتجهات . 28- استخدام مفاهيم وقوانين الاحتمالات والإحصاء لفهم نتائج الألعاب الرياضية المختلفة . 29- ترجمة أي تحويلة هندسية إلى مصفوفة ثنائية 2 × 2 وترجمة أي مصفوفة ثنائية إلى تحويلة هندسية . 30- بناء حاسب القطع الزائد واستخدامه بطريقة مبتكرة في إجراء عمليتي الضرب والقسمة. 31- اشتقاق معادلات رياضية سهلة لإيجاد مجموع المتسلسلات العددية كثيرة الحدود بدقة وسرعة . 32- تحليل أي عدد صحيح إلى عوامله الأولية بدون الحاجة إلى إجراء عمليات القسمة واشتقاق قواعد لاختبار قابلية القسمة بسرعة ودقة ومهارة . 33- رسم المنحنيات الهندسية بأساليب غير مألوفة وبدون الحاجة إلى معرفة المعادلات أو بناء الجداول التقليدية . 34- بناء متسلسلات عددية متقدمة مثل متسلسلة فيرى وفيبوناسى واكتشاف الخصائص المميزة لكل منها . 35- حل المشكلات الرياضية المعقدة التي تتضمن اللانهاية باستخدام طرق جبرية بسيطة . 36- حل معادلة الدرجة الأولى في مجهولين بطرائق تكاملية تستثير اهتمام التلاميذ . 37- بناء متسلسلة فيبوناسى وإيجاد مجموعها ومجموع مربعاتها واكتشاف أهم خواصها الرياضية . 38- إيجاد ثلاثيات فيثاغورثية عددية واستخدامها في حل مسائل المثلث قائم الزاوية . 39- إيجاد مجموع الحدود النونية لمتواليات الأعداد الطبيعية أو المثلثية أو التربيعية أو الخماسية بدقة وسرعة ومهارة . 40- إيجاد القاسم المشترك الأعظم لأي عددين بدون الحاجة إلى الاهتمام بقيمة كل من هذين العددين كما هو متبع في الطرق التقليدية . 41- تحليل المقادير الثلاثية إلى عواملها الأولية بدون استخدام الخوارزميات التقليدية . 42- تحليل العلاقات الرياضية الخاصة بالطبيعة العجيبة لبعض الأعداد الطبيعية والصحيحة . 43- تحديد العلاقة بين الوقت والزاوية من خلال حركة عقارب الساعة على مدار اليوم الكامل . 44- تحديد العلاقات بين المثلث قائم الزاوية والدائرة ( أو الدوائر ) المرسومة داخله أو خارجه . 45- تحديد خط أويلر في أي مثلث وتحديد العلاقة بين خواص المثلث وخواص الدائرة المرسوم داخلها هذا المثلث حتى يمكن فهم كل منهما . 46- رسم الأشكال الرباعية داخل أو خارج الدوائر بطرق هندسية غير روتينية . 47- حل معضلة تقسيم الدائرة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بسهولة ويسر . 48- استخدام خصائص الدوائر في إيجاد قياسات الزوايا بدون الحاجة إلى أساليب القياس التقليدية . 49- استخدام الأشكال الرباعية في بناء نماذج هندسية جميلة يمكن استخدامها في تزين وزخرفة المستويات الهندسية . 50- استخدام الأشكال الهندسية غير الروتينية في بناء علاقات هندسية مبتكرة . ثانياً : فوائد استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات (2-1) الإسهام في تحقيق المستويات والمعايير العالمية للرياضيات المدرسية . شهد الربع الأخير من القرن الماضي ، تغيرات جوهرية في طبيعة الرياضيات ودورها، الأمر الذي أدى إلى اهتمام أدبيات تعليم الرياضيات ، بالتأكيد على ضرورة التغيير في محتوى الرياضيات المدرسية ، وأساليب تعليمها بما يتلاءم مع طبيعة العصر ويلبى مطالبه. ولعل ما جاء ضمن التقارير المختلفة لبعض الهيئات القومية والدولية المهتمة بتعليم الرياضيات ، يشير إلى بعض مظاهر التغيير المطلوبة في الرياضيات المدرسية خلال القرن الجديد . ومن أمثلة تلك التقارير ، تقرير الهيئة الدولية لتعليم الرياضيات I C M I ) ( الذي تضمن توصيات حول الرياضيات المدرسية ، والتقرير الصادر عن منظمة اليونسكو حول تعليم الرياضيات بالقرن الحادي والعشرين الذي أشار إلى بعض الرؤى المستقبلية المحلية والعالمية في تعليم الرياضيات . ويُعد تقرير المجلس القومي لمعلمي الرياضيات بالولايات المتحدةNCTM ) ( الخاص بمعايير الرياضيات المدرسية ، من أهم التقارير التي أشارت بوضوح إلى ما ينبغي أن تكون عليه صورة تعليم الرياضيات في العصر الحالي ، حيث حدد التقرير خمسة أهداف لتعليم الرياضيات هي : مساعدة المتعلم على تقدير دور الرياضيات في المجتمع ودورها في فروع العلم المختلفة، وتنمية ثقة المتعلم بقدراته الرياضية ، وتنمية مهارات المتعلم على حل المشكلة الرياضية ، وتنمية مهارات المتعلم على التواصل الرياضي ، وتنمية مهارات المتعلم على الاستدلال الرياضي ( NCTM 1989 ) . واعتماداً على تلك المعايير ، أُعدت كثير من المشروعات والبرامج التعليمية التي استهدفت تحسين تعليم الرياضيات ، منها : مشروع تطوير الممكن من أجل الإصلاح التعليمي للرياضيات في المدارس المتوسطة ومشروع تعلم الرياضيات القائم على المعنى بالمدارس الأمريكية والأوربية في مختلف المراحل (MCMSE , 1994 ,pp. 14 –18 ) ، وأظهرت نتائج التجريب نجاحاً نسبياً لهذه المشروعات والبرامج في تحقيقها للمعايير بسبب ما تحتوى عليه من أنشطة رياضية متعددة غير روتينية تثرى مناهج الرياضيات ، وطرائق تدريسها في الفصل الدراسي الحديث . (2-2) تدريب التلاميذ على بناء المعرفة الرياضية بأنفسهم . انطلاقاً من فهم طبيعة الرياضيات ، باعتبارها محتوى من المفاهيم والمبادئ والتعميمات الرياضية التي تنتظم معاً في شبكة من العلاقات والارتباطات الرياضية ، مكونة بنية من المعرفة الرياضية ذات طبيعة خاصة ، نجد في مجتمع المهتمين بتعليم الرياضيات وتعلمها في الوقت الراهن ، أصواتاً قوية تنادى بضرورة أن يستند تعليم المادة وتعلمها إلى مبادئ بناء المعرفة لما يتيحه تطبيق هذه المبادئ من تخطى الاهتمام بالمحتوى إلى الاهتمام المتوازن بكل من المحتوى والبنية معاً ( La Compagne, 1993 ). ويشير أصحاب المعرفة البنائية إلى أن المعرفة رياضية كانت أم غير رياضية ، طرائقية كانت أم مفاهيمية – يتم إكسابها للتلاميذ بشكل أفضل إذا ما أتيح لكل منهم أن يعالجها بنفسه ولنفسه مشيداً بنيته الخاصة للمعرفة والتي غالباً ما تختلف عن تلك التي تقدمها له السلطة الرياضية متمثلة في المعلم والكتاب ، وكما يرى البعض أن الاكتساب الفعال للمعرفة يكون عن طريق إعادة بنائها من الداخل ، لا عن طريق استقبالها من الخارج . ويترتب على ما سبق ضرورة الاهتمام بالاستراتيجيات البنائية في تدريس الرياضيات ، وهى الاستراتيجيات التي يتيح تتابع إجراءات التدريس فيها للتلميذ أن يعيد بناء المحتوى الرياضي لنفسه وبنفسه ، وأن يكتشف ما بين أشكال المحتوى من ارتباطات رياضية متنوعة ( NCTM , 2000 ) . فالتلميذ النشط يبنى المعرفة الجديدة اعتماداً على خبرته السابقة ولا يستقبلها بصورة سلبية من الآخرين . ويرى كل من سمردون وبوركام ( Smerdon &Burkam , 1999 , p. 5) أن الاستراتيجية البنائية تقوم على عدة مسلمات منها أن بناء المعلومة أفضل من تقديمها جاهزة، وأن معلومات المجموعة أكبر من مجموع معلومات كل فرد على حدة ، وأن التعلم يجب أن يكون إيجابياً وليس سلبياً من جانب التلميذ . ويتطلب تطبيق هذه الاستراتيجية البنائية في مجال التعليم والتعلم أن يوفر المعلم بيئة التعليم المناسبة من حيث توفير خبرات تعليمية لعمليات بناء المعرفة ، توفير خبرات من وجهات نظر متعددة ، جعل التعلم واقعي ذو مضمون يسهل تطبيقه في الحياة ، إعطاء المتعلم دوراً في عملية التعلم ، وضع المتعلم في خبرات اجتماعية ، تشجيع المتعلم على التعبير عن أفكاره بطرق متعددة ، وإعطاء المتعلم ثقة في قدرته على بناء المعرفة . وبالنسبة للمتعلم أكد بركنز ( Perkins , 1999 , p. 12 ) على ثلاثة أدوار رئيسة ومتميزة يجب أن يقوم بها المتعلم أثناء التعلم البنائى ، وهذه الأدوار هي أن المتعلم نشط أثناء عملية التعلم ، اجتماعي لا يعيش بمفرده يبنى المعرفة من خلال وسط اجتماعي يساعده، ومبدع خاصة إذا هُيئت له الظروف المساعدة على الإبداع واكتشاف العلاقات وبناء المعرفة بنفسه . ويتطلب التعلم البنائى امتلاك المتعلم لمهارات التفكير الأساسية كي يستطيع طرح تساؤلاته ويحاول البحث عن إجابات لها وإجراء تكامل بين المعلومات المختلفة للحصول على فهم أعمق لها ، وتعتبر معرفة الطلاب للإجابة الصحيحة لأي مشكلة رياضية عملاً مهماً ، ولكن الأهم من هذا العمل هو فهم أسباب صحة هذه الإجابة ومبرراتها . ويرى أبوت وراين ( Abbott & Ryan , 1999 , p. 66 ) أن النموذج البنائى للتعلم المعرفي يعكس فهماً جيداً لطبيعة العقل البشرى في إدراك العالم المحيط به . فالفرد دائماً يُعدل في بنيته المعرفية الجديدة ويربطها بالمعرفة السابقة لديه برباط منطقي قوى ذو معنى . والتعلم البنائى يعتمد بدرجة أساسية على الفهم . فالطلاب القادرون على الفهم يستفيدون من الأنواع المناسبة من الخبرات التي يوفرها لهم المعلم ، والتي تمكنهم من تقييم تفكيرهم وتفكير الآخرين، ويساعدهم ذلك بدرجة كبيرة على بناء معرفتهم بأنفسهم . ويؤكد ليرمان ( Lerman , 2000 , p. 210 ) على أهمية الجانب الاجتماعي في التعلم البنائى ، بيد أن كل من ستيف وطومسون ( Steffe and Thompson , 2000 , p. 209 ) يعارضان هذا الاتجاه ، فليس من الضروري أن يتم التعلم البنائى في وسط اجتماعي معين . مما سبق يتضح أن استراتيجيات التدريس البنائى تهتم بفاعلية المتعلم بدرجة كبيرة أثناء عملية التعلم. (2-3) تنمية مهارات حل المشكلات الرياضية غير الروتينية لدى التلاميذ : من أهم غايات التربية في عصرنا الحديث إعداد الطلاب لحل المشكلات التي ستواجههم وتواجه مجتمعاتهم غداً ، فالمستقبل زاخر بالتحديات ومشكلاته تكاد تكون معظمها متحدية كذلك، ولذا ينبغي أن تعمل المدارس على تهيئة أطفال اليوم للتدريب على حل المشكلات ، ليكون هذا التدريب سلاحاً يواجهون به تحديات المستقبل ومشكلاته . ويعتبر أسلوب حل المشكلات والتصدي لها ومحاولة حلها ، من المهارات الأساسية التي ينبغي أن يتعلمها ويتقنها الإنسان العصري . وإذا كانت مهارات حل المشكلات مهمة للإنسان بصفة عامة ، فإنها أكثر أهمية لدارسي الرياضيات ومدرسيها بصفة خاصة نظراً لأنها طريقة التفكير والتعلم التي يجب أن يكتسبها الطالب ، فهي عملية دينامكية عقلية تتضمن الطرائق والاستراتيجيات والمتطلبات الضرورية للتفكير الدقيق (وليم عبيد وآخران ، 2000 ،ص 87). وبالرغم من أن الكثير من الطلاب يتعودون على حل المشكلات الروتينية الموجودة بكتب الرياضيات المدرسية ، فإن هذه النوعية من المشكلات نادراً ما تقود إلى اكتشاف تصميم جديد أو توليد رؤية غير روتينية لدى الطلاب ، نظراً لأنها بطبيعتها مشكلات متكررة من صف إلى آخر ومن فصل إلى آخر داخل الكتاب المدرسي ، وتوجد مشكلات كثيرة مشابهة لها . ولما كان نشاط حل المشكلات غير الروتينية في حقيقته عملاً يشبه اختراع أشياء جديدة، فأنه عمل صعب نظراً لأنه لا توجد أي فئة محددة من القواعد والإجراءات التي يمكن لكل الطلاب إتباعها في كل المواقف للتوصل إلى الحلول الصحيحة للمشكلات الجديدة عليهم . وفى هذا المجال قام تشرنجو (Tchernigo, 1995) بدراسة الفروق في مهارات حل المشكلات لدى تلاميذ مرحلة ما قبل المدرسة من خلال الاعتماد على الأداء على بعض الألغاز الرياضية . ووجد الباحث العديد من الفروق بين الأولاد والبنات حيث كانت البنات أكثر قدرة على إكمال الألغاز الرياضية من الأولاد . وكان الأولاد أكثر قدرة من البنات على استخدام أسلوب المحاولة والخطأ ولديهم مواهب يستطيعون بها إكمال اللغز. وقام بارون (Baron, 1996, p. 954) بدراسة تناولت طبيعة الأنشطة الرياضية غير الروتينية المشتملة على الرموز والمفاهيم الهندسية التي يمكن استخدامها في تهيئة المناخ المناسب لتدريس الرياضيات ، واستخدامها في حصص الرياضيات في صورة مواقف قائمة على حل المشكلات. وركزت الدراسة على إعداد مجموعة من الأنشطة التي تغطى الموضوعات الرياضية المختلفة في المنهج الدراسي من أجل استخدامها في تنمية التفكير الرياضي والقدرة على حل المشكلات والاكتشاف الرياضي لدى التلاميذ . وتوصلت الدراسة إلى 66 نشاط يتكون كل منها من الأفكار الهندسية المتضمنة ، المواد اللازمة للتعلم ، الأسئلة المفتاحية التي يدور حولها النشاط ، بداية موجزة للنشاط ، تعليمات للمعلمين بها النتائج المحتملة للنشاط ، والروابط مع المفاهيم الهندسية في الأنشطة الأخرى ، وبذلك قدم بارون مدخلاً تربوياً مناسباً لاستخدام الأنشطة الإثرائية في الفصل الدراسي. وبذلك يتضح أن الأنشطة الإثرائية تساعد الطلاب على تطوير مشكلات رياضية جديدة من خلال عمل بعض التعديلات البسيطة في الشروط المعطاة لمشكلة رياضية معينة ، ويستطيع الطلاب أن يتدربوا على بناء وحل مشكلات خاصة يضعونها بأنفسهم بواسطة عمل تغيرات بسيطة في المشكلات الموجودة لديهم من قبل . ويلاحظ أن أي مشكلة رياضية تملك بعض الشروط التي إن تم تغييرها أو تعديلها يتوصل الطالب إلى مشكلة جديدة أو مجموعة مشكلات تحتاج إلى حل جديد ، ولذا يجب على المعلم أن يسمح لطلابه بحل المشكلات الروتينية المعتادة، ويطلب منهم توسيع الحل من خلال حل مشكلات جديدة مشتقة من تلك المشكلات المألوفة لهم ، حتى يتمكن الطلاب من فهم طبيعة المشكلات الرياضية فهماً جيداً . (2-4) تنمية مهارات استكشاف الأنماط والتراكيب الرياضية لدى التلاميذ : الرياضيات ليست مجرد حسابات آلية أو استنباطات منطقية مجردة ولكنها ملاحظة التراكيب والأنماط العددية والهندسية ، فكما أن البيولوجيا علم الكائنات الحية ، والطبيعة علم المادة والطاقة ، فإن الرياضيات هي علم الأنماط، حيث تبحث في وتعبر عن العلاقات بين الأنماط المختلفة ، سعياً وراء إدراك الأنماط ذات السياقات المعقدة والفاحصة، فهم وتحويل العلاقات بين الأنماط ، تصنيف وترميز ووصف الأنماط ، القرءاة والكتابة بلغة الأنماط ، واستخدام المعرفة المتعلقة بالأنماط في أغرض عملية متعددة . وتبعاً لذلك نالت دراسة الأنماط الرياضية قسطاً كبيراً من الاهتمام في مناهج الرياضيات، فقد أشارت وثيقة معايير المنهج والتقويم للرياضيات المدرسية الصادرة عن المجلس القومي لمعلمي الرياضيات بالولايات المتحدة إلى أن استكشاف الأنماط يساعد التلاميذ على تحسين المهارات الرياضية ويغرس فيهم تقدير جمال الرياضيات (NCTM, 1989). ونصت الوثيقة على أنه ينبغي تضمين منهج الرياضيات دراسة الأنماط والعلاقات ، بحيث يستطيع التلميذ أن يدرك ويصف ويبتكر أنماطاً متنوعة ، يمثل ويصف العلاقات الرياضية ، ويستكشف استخدام المتغيرات والجمل المفتوحة في التعبير عن العلاقات الرياضية المتنوعة ( Congelosi , 1992 p. 315) . ونظراً لأهمية استكشاف الأنماط في تعلم الرياضيات وسعياً وراء تنمية مهارات استكشاف الأنماط الرياضية لدى التلاميذ ، اهتم كثير من الباحثين والهيئات التربوية بإعداد الأنشطة والاستراتيجيات التعليمية التي يمكن استخدامها من أجل تحقيق ذلك ، فقد أصدر المجلس القومي لمعلمي الرياضيات بالولايات المتحدة سلسلة كتب تحتوى على أنشطة ذات صبغة استقصائية تستهدف تنمية مهارات الاستكشاف المرتبط ببعض الموضوعات الرياضية المختارة وتأتى في مقدمتها استكشاف الأنماط الرياضية ( NCTM , 1992) . واعتمد بعض الباحثين في تنميتهم لتلك المهارات لدى التلاميذ على أنشطة مرتبطة بمواد فيزيقية . فقد اقترح ويب ( Wiebe, 1994, pp. 5-8) أنشطة رياضية تتطلب من التلاميذ محاولة اكتشاف أكبر عدد ممكن من الأنماط باستخدام المكعبات الملونة ، وقدم جير ( Geer , 1992, pp. 19-21 ) وصفا لأنشطة تقوم على قطع الدومينو وأوراق الكوتشينة وأوراق التقويم السنوية لإكساب التلاميذ خبرات رياضية حول المهارات الأساسية واستراتيجيات حل المشكلة التي تتضمن أنماط وعلاقات ودوال ومعادلات ، أما إريكسون ( Erickson , 1991, 255-258 ) فقد بحث مهارات التلاميذ في تصنيف مجموعة معطاة من البطاقات في ضوء أنماط متعددة من خصائصها ، كما ناقش الأسباب التي تؤدى إلى صعوبة أو سهولة إدراك التلاميذ للنمط الرياضي . مما سبق يتبين أهمية دراسة الأنماط الرياضية بوصفها محور الاهتمام الرئيس للرياضيات ، وكذلك يتبين أهمية المهارة في استكشاف تلك الأنماط بوصفها أحد أهم أهداف تدريس الرياضيات في مختلف المراحل التعليمية . كما يتبين مدى اهتمام البحوث والدراسات بتنمية تلك المهارة لدى التلاميذ عن طريق استخدام الأنشطة والاستراتيجيات التعليمية المناسبة . (2-5) تنمية أبعاد التفكير الرياضي لدى التلاميذ : يُعد التفكير بصفة عامة أكثر النشاطات المعرفية تقدماً ، وينجم عن قدرة الكائن البشرى على معالجة الرموز والمفاهيم واستخدامها بطرائق متنوعة ، تمكنه من حل المشكلات التي يواجهها في المواقف التعليمية والحياتية المختلفة . وتعتبر تنمية أبعاد التفكير من أهداف غالبية المواد الدراسية وتختلف عمليات الاهتمام بها وفق طبيعة كل مادة ، والسبب في ذلك أن عمليات التفكير ومهاراته تتدرج من البساطة إلى التعقد . فالاستنتاج والتحليل عمليات معقدة إلى حد ما أما النقد والابتكار وحل المشكلات واتخاذ القرارات فهي عمليات تفكير على درجة عالية من التعقيد ( صلاح عبد الحفيظ ، عايدة سيدهم اسكندر ، 1999 ، ص 71 ) . ومن هنا ندرك أن الرياضيات على علاقة وثيقة بمهارات التفكير من حيث كونها تنطوي على تركيب الأفكار وتنظيم المعلومات وإعادة شرحها وترتيبها كما يمكن النظر إلى الرياضيات على أنها في ذاتها طريقة في التفكير . وتنطوي أهداف تدريس الرياضيات في مختلف دول العالم على تنمية مهارات التفكير المختلفة حيث يهدف تدريس الرياضيات إلى تنمية القدرة على الكشف والابتكار وتعويد الطالب على عملية التجريد والتعميم وأن يمتلك الطالب اتجاهات إيجابية لمواجهة المشكلات واختيار الحلول المناسبة (Mason, et al., 1995, p. 10). وبالرجوع إلى واقع تدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية ، نجد أن هناك معوقات تحول دون تحقيق تنمية مهارات التفكير الرياضي لدى التلاميذ . وتؤكد هذا الواقع دراسة إبراهيم كرم (1992 ، ص 185 – 205 ) ، التي تدل على أن المقررات الدراسية لا تتضمن أمثلة واضحة تستثير تفكير التلاميذ وأن أساليب التدريس لا تستخدم القضايا والمشكلات كمدخل للتدريس ، بالإضافة إلى أن أسلوب المناقشة والأسئلة المستخدمة به لا يستثير تفكير المتعلمين . ويتطلب الارتقاء بمهارات التفكير لدى التلاميذ العمل على وضع استراتيجية تهدف إلى إكسابهم تلك المهارات ، وذلك بدلاً من التركيز على تلقين التلاميذ للمعلومات والحقائق ، وضرورة الاهتمام بالأسئلة التباعدية والمعرفية العليا نظراً لما تتميز به هذه النوعية من الأسئلة من إتاحة حرية كبيرة أمام التلاميذ في البحث عن حلول لها ، كما أنها تتيح مداخل عديدة للإجابة عليها وتستثير هذه الأسئلة تفكيراً تباعدياً يبدأ من مشكلة تتيح بدائل حل متنوعة وتؤدى إلى حلول مختلفة تثرى التدريس والمنهج الدراسي . (2-6) تنمية المهارات الرياضية المتقدمة لدى التلاميذ : يحتل اكتساب التلاميذ للمهارات الرياضية مكانه هامة بين أهداف تدريس الرياضيات ، فهو يساعدهم على فهم الأفكار والمفاهيم الرياضية فهما واعياً ، ويزيد من معرفتهم وفهمهم للأنظمة والبني الرياضية . وهذا من شأنه أن يُمكن التلاميذ من التقدم في تعلم الرياضيات ، كما أن اكتسابهم للمهارات الرياضية وإتقانهم لها يسهل عليهم أداء الكثير من الأعمال التي يواجهونها في حياتهم اليومية ويتيح لهم الفرص المناسبة لتوجيه تفكيرهم وجهدهم ووقتهم بشكل أفضل نحو المشكلات الرياضية وينمى قدراتهم على حل تلك المشكلات . وقد شهد تعليم وتعلم الرياضيات حركة تطوير وتغيير مهمة في العقدين الآخرين من القرن العشرين . فقد ظهرت الدعوة إلى العودة للأساسيات في تعليم وتعلم الرياضيات المدرسية. وصاحب ذلك إعادة النظر في المهارات الأساسية التي ينبغي تنميتها لدى التلاميذ من خلال دراستهم لمادة الرياضيات (NCTM, 1991) . ونتيجة لذلك تم توسيع قوائم المهارات الأساسية لتشمل – بالإضافة إلى ما تعودنا أن نراه من مهارات تقليدية – مهارات جديدة مثل التواصل بلغة الرياضيات ، وإدراك الارتباطات الرياضية ، والتفكير الرياضي ، والحس العددي ، والتقدير التقريبي ، والحساب الذهني ( Markovits and Sowder , 1994 , p. 11 ) . ونظراً للأهمية المتزايدة التي يحظى بها موضوعي التقدير التقريبي والحساب الذهني ، بدأ إدخال كل منهما ضمن موضوعات الرياضيات المدرسية ، على أساس أنهما من المهارات الرياضية الأساسية التي يمكن من خلالها تنمية مهارات رياضية متعددة لدى الأعمار المختلفة من التلاميذ ، مثل مهارات الحس العددي والتفكير الرياضي وبعض المهارات الرياضية الأخرى، وبالرغم من ذلك فإن نتائج الأبحاث في هذا المجال تؤكد أن هذه الأهمية لا يناظرها اهتمام كاف سواء على مستوى المنهج المدرسي أو على مستوى التدريس (Gay, 1991, pp. 454 – 455). ولقد حظي الحس العددي مؤخراً باهتمام كبير في أماكن متعددة من العالم ، مثل بريطانيا واستراليا والولايات المتحدة بشكل خاص ، منذ صدور وثيقة مستويات المنهج والتقويم الأولى بواسطة المجلس القومي لمعلمي الرياضيات ( NCTM , 1989 ) ، التي جاء فيها أن تعلم الرياضيات هو نشاط موجه نحو تنمية الحس الرياضي ، والذي يُعد الحس العددي أحد أشكاله الأساسية ، وباستخدام الأنشطة الإثرائية يمكن تنمية هذه المهارات المتقدمة . (2-7) تحقيق إيجابية التلاميذ ونشاطهم في الحصص الدراسية : حديثاً ، تغيرت نظرة التربويين إلى المتعلمين من كونهم مستقبلين سلبيين للمعرفة الجاهزة إلى بناءين نشطين لها . فالمتعلمون بناءون يبنون التراكيب المعرفية الخاصة بهم بطريقتهم الخاصة ( Wang , et al., 1993, p. 299 ) . وتنطوي تلك النظرة الحديثة للتعلم على ثلاث مسلمات هي : 1- التعلم هو عملية بناء المعرفة وليس مجرد استلامها أو استيعابها جاهزة . 2- التعلم عملية تعتمد على توظيف المعرفة حيث يتم استخدام المعرفة السابقة في بناء معارف جديدة . 3- المتعلم واع بالعمليات المعرفية ويمكنه التحكم فيها والتأثير بفعالية فيما يتعلمه . وفى مجال تعليم الرياضيات ، اهتم الكثير من المعلمين بالمعرفة البنائية باعتبارها المدخل المناسب للتطورات والتغيرات الواجب عليهم إحداثها في التعلم أمام التلاميذ بالفصل الدراسي( Leader & Gunstone , 1990, pp. 105 - 120) . وبالرغم من أن الأدبيات التربوية تشتمل على أنواع عديدة من أساليب بناء المعرفة فإن كل هذه الأنواع تستند إلى المبدأ القائل بأن التعلم الفعال ليس استقبالاً سلبياً للمعلومات الجاهزة ولكنه عملية بناء نشطة يقوم فيها الطلاب بالأدوار الأساسية بأنفسهم ولأنفسهم ، وعكسا للاستقبال السلبي يقوم الطالب وهو في حالة نشطة بتفسير وتدقيق المعاني المعرفية باستخدام الأبنية المعرفية المتوفرة لديه (La Compange, 1993 ). وتؤيد التطورات الراهنة في مجال تعليم الرياضيات المدخل البنائى ، حيث ترى أن المهارات الآلية والاندماج الفكري السلبي للتلميذ في الحصة الدراسية ، يجب أن يتم استبدالهما بعمليات التعلم النشط الذي يؤدى إلى بناء المعرفة الرياضية ( Hiebert , 1992, p. 439 ) . ويوجد مدخلان شائعان لفهم طبيعة التعلم النشط ، يتعلق أولهما بالنظر إلى التعلم النشط من خلال انخراط الطالب في أنشطة متنوعة بشكل حر مستقل ، يتحكم أثناءه الطالب في أنشطة التعلم التي يختارها ويستخدمها بالشكل الذي يراه مناسباً أثناء الحصة الدراسية . ووفق هذا المدخل تتضمن أنشطة التعلم ، العمل الاستقصائي ، حل المشكلات ، عمل المجموعة الصغيرة ، التعلم التعاوني ، التعليم القائم على الخبرة . وفى المقابل ، يكون الطالب مستقبلاً سلبياً للمعلومات عند استخدام أنشطة التعليم السلبي ، لا يبذل جهداً أكثر من مجرد الإنصات إلى شرح المعلم ، التعرض لسلسلة من الأسئلة المحدودة ، وممارسة أو تطبيق المعلومات التي تم تعلمها من قبل بشكل متكرر يخلو من الجدة . ويعتمد المدخل الثاني على أن التعلم النشط نوع من الخبرة العقلية التي يمر بها التلاميذ أثناء اندماجهم الفكري الذكي في العمل على الخبرات التعليمية ببصيرة ورؤية واضحة ( Kyriacou and Marshall , 1989, p. 311 ) . ومن الضروري أن تتوافق طبيعة التعلم النشط الذي يحاول المنهج تحقيقه ، مع الخبرات العقلية النشطة المتوفرة لدى التلاميذ ، مما يؤدى إلى أبنية معرفية قوية أثناء تعلم المفاهيم الرياضية المرغوب فيها داخل حجرة الصف ، حتى لا يعتقد بعض المدرسين خطأ أنهم في آمان طالما وفروا لتلاميذهم أنشطة استقصائية كثيرة ، وخبرات حل مشكلات مفتوحة النهاية، وأنشطة يدوية حيث يتوقعون نجاح الطلاب في بناء المعرفة بمجرد مرورهم بتلك الخبرات . ومن المتغيرات الجوهرية في عملية التعلم النشط ، استخدام استراتيجيات التعلم المناسبة. ويقصد بهذه الاستراتيجيات مجموعة السلوكيات والأفكار التي تؤثر على دافعية الطلاب وحالتهم الوجدانية والطريقة التي يختارون بها معارفهم وينظمون ويكاملون بها المعرفة الجديدة ، فمن خلال استخدام استراتيجيات التعلم المتنوعة يستطيع الطلاب التأثير بشكل مباشر في شكل ونوعية المعرفة التي يكتسبونها أثناء الدرس . وبذلك يتضح أنه لكى يكون التعلم فعالاً ، يجب أن يكون الطالب نشطاً في عملية التعلم ، يبنى المعرفة بنفسه ولنفسه ، ويستطيع تحديد وتشكيل وإعادة بناء الأهداف ويستطيع أن يخطط ويطور وينفذ الخطط ، ويستطيع فهم ذاته ويستخدم استراتيجيات التعلم بشكل مناسب ، وينظم مصادر التعلم المختلفة أثناء الحصة الدراسية . (2-8) تحقيق الجوانب الوجدانية لتدريس الرياضيات على الرغم من أن تحقيق الجوانب الوجدانية يُعد غاية من الغايات المهمة التي يسعى تدريس الرياضيات إلى تحقيقها ، فلم تنل هذه الجوانب الاهتمام الكافي بواسطة الباحثين في مجال تعليم الرياضيات ، حيث انصب تركيزهم على الجوانب المعرفية دون سواها ، وهو ما يمثل نقطة ضعف وجانب من جوانب القصور بين الفكر والتطبيق في مجال تدريس الرياضيات ( فايز مراد، 1995، ص101 ). ويؤكد العديد من التربويين على أن النجاح أو الرسوب في المدرسة لا يتأثران فقط بالقدرات المعرفية لدى التلاميذ ، ولكن أيضاً بمتغيرات مختلفة غير معرفية من أهمها المتغيرات الوجدانية . ولذا فلا عجب إذن عندما نلاحظ عدم إقبال بعض الطلاب على مواصلة الدراسة في الرياضيات، واختيار تخصصات أخرى بعيدة عنها لا لرغبتهم في دراستها ، بل لكونها لا تحوى شيئاً من الرياضيات بين موضوعاتها ، وقد يصل هذا الشعور بالقلق إلى حد الخوف والرهبة منها ، وهو ما يطلق عليه أحياناً ظاهرة الخوف من الرياضيات . وإذا كان التدريس المعتاد للرياضيات يركز على الجوانب المعرفية والتحصيل الدراسي فإن التدريس باستخدام الأنشطة الإثرائية يركز ، بالإضافة إلى هذه الجوانب ، على الجوانب الوجدانية عامة ، والاتجاهات والميول نحو دراسة الرياضيات ، بشكل خاص . وفى هذا المجال أوضح كامبل (1999) في دراسته لأثر التدريبات الرياضية الإضافية على الحاسب المصغر على التحصيل الرياضي والاتجاهات نحو الرياضيات لدى الطلاب الذين يملكون اتجاهات سلبية نحو المادة ، أنه على الرغم من عدم وجود فروق دالة إحصائياً بين مجموعتي البحث فإن التحصيل الدراسي والاتجاهات نحو الرياضيات قد تحسنا بشكل ملحوظ لدى كل مجموعة على حدة ، نتيجة العمل على الأنشطة الإثرائية الإضافية المقدمة لهم بالبحث (Campbell, 1999, p. 340) . ونتيجة ما يؤدى إليه قلق الرياضيات من تأثير سلبي على تحقيق أهداف تدريس الرياضيات ، كثُرت الدراسات والأبحاث التي تناولته في الآونة الأخيرة ، وتوصلت إلى نظرية شاملة عن قلق الرياضيات تشير إلى أن السبب الرئيس في قلق الرياضيات هو طرق التدريس التي تعتمد على الحفظ والاسترجاع وتهمل الفهم وإيجابية التلاميذ ونشاطهم أثناء الحصة الدراسية . ويؤدى ذلك إلى علاقة ارتباطية عكسية بين قلق الرياضيات والتحصيل الدراسي فيها في المراحل التعليمية المختلفة (ماهر أبو هلال، 1992،ص ص 37 – 53). ويؤكد التربويون على أن القلق ظاهرة عامة في كل الدول المتقدمة والنامية على السواء ، و قد يرجع القلق إلى خبرة مدرسية غير سعيدة ، أو لمواقف بعض المدرسين ، وعدم اهتمامهم بأولئك الذين يجدون صعوبة في الرياضيات ، أو لخوف التلميذ من خواص الرياضيات ، مثل الدقة والسرعة ، وما تتطلبه من الإتقان والترتيب ، وربما لضعف الخلفية الرياضية لديه . وقد يعود القلق أيضاً إلى عدم بذل المعلم للجهد المناسب والمنظم ، وعدم استخدام المداخل والاستراتيجيات المناسبة لتحقيق الأهداف الوجدانية لتعليم الرياضيات ، كما يساعد على ذلك نظم التقويم الراهنة التي تغفل تقويم تعلم التلاميذ في الجوانب الوجدانية (فايز مراد مينا ، 1995 ، ص101) . وبذلك يتضح أن قلق الرياضيات المتمثل في قلق حل المشكلة الرياضية يُعد من المتغيرات الأساسية التي لم تنل اهتماماً كافياً من الباحثين في مجال تعليم وتعلم الرياضيات في البيئة العربية على وجه الخصوص ، على الرغم من أهميته ومدى شيوعه بين الطلاب من مختلف الأعمار ، فضلاً عن أنه يُعد عاملاً ذا أهمية من عوامل القلق الرياضي بصفة عامة ، ويُعد أيضاً أحد المؤشرات الرئيسة وراء مستوى الأداء المنخفض للتلاميذ في مهارات حل المشكلة الرياضية . ويمكن اختزال القلق ، سواء قلق التحصيل أو القلق الرياضي أو قلق البرهان الرياضي، باستخدام استراتيجيات ملائمة للتدريس ، أو عن طريق مقررات وبرامج إثرائية مناسبة ، يستمتع التلاميذ من خلالها بدراسة الرياضيات ، ويشعرون بالجوانب الجمالية بها . (2-9) تنمية مهارات التدريس الإبداعي لدى معلمي الرياضيات : التدريس الإبداعي هو ذلك النوع من التدريس الذي يشجع الطلاب على تحليل المشكلات الرياضية العامة إلى مشكلات فرعية محددة ، وعلى تحليل الأنماط والتراكيب الرياضية ، وعلى تجاوز حالات الجمود العقلي والبعد عن العمل الروتيني ، وهو ذلك التدريس الذي ينمى قدرة الطلاب على ربط وإعادة تنظيم العناصر الرياضية المختلفة بطرق جديدة تتسم بالطلاقة والمرونة والأصالة والحساسية للمشكلات ، وإدراك التفاصيل في الموقف التعليمي . وقد شهدت الأدبيات التربوية في مجال تعليم الرياضيات اتجاهاً نحو استخدام التدريس الإبداعي من خلال برامج حديثة مناسبة لتحقيق النواتج التعليمية العليا المرغوبة في تدريس الرياضيات ( Krulik & Rudnick, 1994, pp. 415-418) . ويتطلب التدريس الإبداعي امتلاك المعلم لمهارات تدريس غير روتينية تتسم بالطلاقة والأصالة والمرونة . وتؤدى ممارسة المعلم لتخطيط الأنشطة الإثرائية واستخدامها في التدريس إلى تنمية الكثير من مهارات التدريس الإبداعي لديه . ولذا يجب على معلم الرياضيات أن يراعى مجموعة من الأسس والمبادئ ليكون تدريسه إبداعياً ، من بينها ضرورة أن يعطى تلاميذه فرصاً متكررة للتعلم ، تسمح لهم بممارسة الاكتشاف وحل المشكلات ، أن يسمح لتلاميذه بممارسة الأنشطة المتنوعة والمتوازنة التي تتيح لكل منهم أن يتعلم بمفرده في حرية ، ويسمح لهم كذلك بالمشاركة الفردية أو الجماعية داخل أو خارج حجرة الصف ، أن يحدد جوانب التعلم من خلال الأنشطة الإثرائية والوقت الذي يستغرقه كل نشاط ، أن يبنى خطة خاصة للتعلم الفردي باختيار المادة والأفكار والأنشطة التي سيقدمها لكل تلميذ وفق حاجاته واهتماماته وقدراته ، وأن يضع خططاً فردية متميزة ويحدد المفاهيم والأفكار التي تشبع حاجات التلاميذ وميولهم ورغباتهم ( Joshua, 1993 d, p. 5). وللتدريس الإبداعي خمسة مبادئ يجب على المعلم الاسترشاد بها عند تدريب تلاميذه على الإبداع منها احترام المعلم للأسئلة التي يطرحها التلاميذ مهما كان مستواها ، احترامه للتخيلات والتصورات التي تصدر عنهم ، إظهاره لأهمية وقيمة الأفكار التي يطرحها تلاميذه ، سماحه للتلاميذ بالقيام بأداء بعض الاستجابات دون تهديد بالتقويم ، وأن يكون المعلم موضوعياً في تقويمه للتلاميذ (آمال صادق وفؤاد أبو حطب ، 1994 ، ص649) . ويتطلب التدريس الإبداعي للرياضيات من خلال استخدام الأنشطة الإثرائية ، تقسيم التلاميذ في الفصل إلى مجموعات صغيرة ، تبدأ كل مجموعة منها بتناول لعبة أو لغز أو مشكلة رياضية غير روتينية ، وبتابع المعلم بصورة منتظمة مدى تقدم كل مجموعة على الأنشطة التي اختارتها ، ثم يناقش تلاميذ الفصل سوياً الأفكار الجادة الأصيلة التي توصلت إليها المجموعات المختلفة من التلاميذ . وعند تقويم النواتج النهائية للتدريس الإبداعي ، يجب على المعلم أن يركز على الحلول الجديدة للمشكلات الرياضية ، وعلى مهارات التلاميذ في إدراك العلاقات وربط الأسباب بالنتائج وإتباع الأسلوبين التركيبي والتحليلي في التوصل إلى هذه النتائج ؛ لأن ذلك من شأنه أن يجعل التلاميذ يركزون في دراستهم على تلك المهارات التي ترتبط بالعملية الإبداعية ، ويجب على المعلم أيضاً أن يعتمد على الأسئلة التباعدية ذات النهايات المفتوحة التي لا توجد لها طريقة واحدة محددة للحل (محمد أمين المفتى ، 1995 ، ص220) . وينتج التدريس الإبداعي طلاباً مبدعين وفق ما أشار إليه كل من كروليك ورودنيك (1994) حيث قاما بإجراء حصر لمجموعة من الأنشطة الإثرائية التي يمكن استخدامها في تدريس الرياضيات لتلاميذ المدارس الثانوية بصفة عامة وفى تدريس الهندسة بصفة خاصة لمساعدة الطلاب على ممارسة الاستدلال والإبداع أثناء دراسة الرياضيات ( Krulik &Rudnick, 1994, p. 415) . وفى عام 1993 قام تشابمان (Chapman, 1993)بتجميع 172 فكرة للتدريس الإبداعي تخدم الموضوعات المختلفة للمادة الدراسية وتصلح جميع الأفكار المقدمة للاستخدام بالفصول الدراسية في المدرسة الثانوية ، وتوصل رايسRice في نفس العام إلى 100 فكرة أخرى جديدة للتدريس الإبداعي من خلال آراء المعلمين من كل أنحاء الدولة ( Rice, 1993, pp.23 - 28 ). وفى عام 1994 تناول ديلزل ( Delisle, 1994, pp. 58-63) أنشطة التدريس الإبداعي ، حيث قدم للمعلمين بالمدارس مجموعة تتكون من 24 نشاط حديث في الرياضيات ، مأخوذة من المعلمين عبر الدولة ومصممة لتقوية المهارات الرياضية لدى تلاميذ المرحلة الابتدائية ، وتعتبر دراسته جزءاً من مجموعة كبيرة تتكون من 100 نشاط إبداعي تعمل على الحفاظ على تحمس الطالب أثناء تعلمه في مجالات دراسية عديدة من بينها الرياضيات. واشتهرت تلك الأفكار الإبداعية للتدريس باسم الأفكار العظيمة حيث أشار رايس ( Rice,1993, pp. 23-28) إليها على أنها مائة فكرة حديثة للأنشطة الإبداعية تُقدم بشكل غير منهجي للتلاميذ ذوى مستويات القدرة المختلفة (ضعيف – متوسط – متفوق) وصُممت هذه الأفكار للحفاظ على حماس الطالب ونشاطه. وفى مجال مساعدة المعلمين على التدريس الإبداعي قدم دايشز وآخرون (1994) بعض الأنشطة الاستكشافية مفتوحة النهاية التي تسمح للطلاب بالإبداع وتشجعهم على إرساء أهدافهم الخاصة وابتكاراتهم وأفكارهم المتميزة ، وفحص الأشياء غير الروتينية حولهم والتعلم من العمل في المواقف الحقيقية، واشتقاق النتائج من استقصاء الخبرة في مواقعها المباشرة (Dyches, 1994). وفى عام 1995 بدأت بعض الدوريات العالمية المتخصصة ومنها دورية “Instructor” في تقديم مجموعة من المقترحات للمدرسين في صورة مشروعات للفصل الإبداعي وبعض المسابقات للطلاب ودليل للتدريس الجيد وأساليب للتدريس الإبداعي ( Richetti, 1995, pp.10 -17). ومنذ ذلك الحين تنشر دورية “ Mathematics Teacher” جزءاً خاصاً في كل عدد من أعدادها عن الأنشطة الإبداعية التي يمكن استخدامها بواسطة معلمي الرياضيات في الولايات المتحدة الأمريكية وعبر العالم . مما سبق تتضح أهمية الأنشطة الإثرائية ودورها في تحقيق التعلم النشط الذي : 1- يتمشى مع الاتجاهات الحديثة في تدريس الرياضيات التي تهتم بالتعلم النشط القائم على إثراء المعرفة الرياضية وتفعيل عملية التدريس . 2- يزيد من فعالية مواقف التدريس في حصص الرياضيات بجعلها مواقف ذات معنى للتلميذ للدرجة التي يستطيع معها تحقيق الاستفادة القصوى من نشاطه وإيجابيته . 3- يسهم في تحسين أساليب ووسائل التعليم المستخدمة في حصص الرياضيات التي لا تستثير دافعية التلاميذ ورغبتهم في دراسة المادة . 4- يساعد في القضاء على أسباب خوف بعض التلاميذ من مادة الرياضيات من خلال ما يقدمه لهم من أفكار وطرائق جديدة وأنشطة متنوعة تُحبب المادة إلى نفوسهم . 5- يُكسب التلاميذ بعض مهارات الإبداع والاكتشاف وحل المشكلات بالإضافة إلى التحصيل الدراسي المرتفع . 6- يُنشئ في التلميذ رياضياً صغيراً يُفكر ويكتشف ويقبل التحدي ويمارس المتعة الذهنية أثناء دراسة المادة . 7- يجعل التلاميذ في حالة نشطة دائماً ويتحدى ذكائهم وتفكيرهم بدلاً من كونهم مجرد مستقبلين سلبيين لما يُلقى عليهم من معلومات . 8- يُسهم في تحقيق مبادئ التعلم الفعال التي تنص على أن الاشتراك النشط للطالب أثناء الدرس أفضل تربوياً من الاستقبال السالب . 9- يساعد المعلم في تحقيق الأنشطة المنهجية الصفية باعتبارها عنصراً أساسياً من عناصر منهج الرياضيات بشكل مناسب . 10- يساعد في حل مشكلة ضعف دافعية التلاميذ نحو دراسة الرياضيات ، من خلال ما يقوم به من دور في استثارة اهتمام التلاميذ وحماسهم نحو التعلم . ثالثاً : الاتجاهات الحديثة لاستخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات من خلال مراجعة الأدبيات التربوية على المستويين النظري ، والتطبيقي ، التي تم عرض نتائجها في الصفحات السابقة ، يمكن تحديد أبرز الاتجاهات الحديثة لاستخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات ، على النحو التالي : 1- رغم شيوع استخدام الأنشطة الإثرائية في تدريس الرياضيات للطلاب المتفوقين منذ فترة طويلة ، فإن العقدين الآخرين شهدا توسيعاً لهذا الاستخدام ، وأصبحت الأنشطة الإثرائية ممكنة الاستخدام مع تلاميذ جميع المراحل التعليمية ، شريطة تنوعها في المحتوى ، والمستوى ، وحُسن اختيارها واستخدامها (Craft, 2000, p. 116) . 2- إذا كانت الأنشطة الإثرائية تهتم عادة بمحتوى مناهج الرياضيات ، فإن ذلك لا يعنى عدم إمكانية إثراء بقية عناصر المنهج من أهداف ، وطرائق تدريس ، وأساليب تقويم ، وبيئة تعلم ، ونواتج التعلم بالشكل المناسب حتى يصبح المُناخ كله إثرائنا ( (Reis, et. al..,1998,p.310). 3- الأنشطة الإثرائية ليست للارتقاء بمستوى تعلم التلاميذ فقط ، ولكنها للارتفاع بمستوى أداء المعلمين أيضاً ، والانتقال بهم من التدريس الروتيني المعتاد إلى التدريس الإبداعي المرغوب فيه ( Cornu, 1999, p. 195 ) . 4- الأنشطة الإثرائية لا تعتمد على أنشطة ذهنية تستخدم الورقة والقلم فقط ، ولكنها تعتمد على وسائل التكنولوجيا الحديثة أيضاً ، مثل : اليدويات ، والآلات الحاسبة البيانية ، والكمبيوتر ، والوسائط التكنولوجية المتعددة ( Shaffer, 1998, p. 65) . 5- الأنشطة الإثرائية تناسب تلاميذ جميع المراحل التعليمية ، وليس تلاميذ المرحلة الثانوية فقط ، طالما كانت متنوعة اختيارية ، ويمكن في هذه الحالة استخدامها مع جميع التلاميذ بدءاً من المرحلة الابتدائية ، وانتهاءاً بالمرحلة الجامعية (Hoyles, et al., 1999a, p.1 ) . 6- الأنشطة الإثرائية ليست لتدريس الرياضيات بمراحل التعليم فقط ، ولكنها يمكن أن تُستخدم في برامج إعداد المعلم قبل الخدمة ، وفى برامج التطور والتحديث أثناء الانخراط في الخدمة (Cornu, 1999,p. 195 ) . 7- رغم أن الفصل الدراسي هو البيئة المعتادة لتنفيذ الأنشطة الإثرائية ، فإن هذه الأنشطة يمكن استخدامها في المنزل ، والنادي ، والمؤسسات المجتمعية الأخرى ، خلال الأجازات والعطلات الرسمية ( Hall, 1998, p.20 ) . 8- الإثراء التربوي ضرورة للارتقاء بالعملية التربوية ، ولكن الإثراء النفسي هو الهدف الأسمى الواجب السعي نحو تحقيقه من خلال البيئة المدرسية ( سيد أحمد عثمان، 1994). 9- إثراء المناهج الدراسية ضرورة لتحقيق المستويات والمعايير العالمية الواجب توافرها في مناهج الرياضيات المدرسية ( NCTM, 2000 ; Klein, et al., 1998) . 10- الأنشطة الإثرائية مدخل مناسب لتطبيق نظريات التعلم النشط في مجال التدريس ، ومن أبرزها النظرية البنائية ( MCMSE, 1994) . 11- الأنشطة الإثرائية تحقق التوجهات الحديثة للتعلم ، ومن أهمها التعلم من أجل التميز ، التعلم من أجل بناء المعرفة ، التعلم النشط ، التعلم من أجل الإبداع ، التعلم من أجل التفكير، وكلها تؤدى في النهاية إلى تحقيق التعلم الفعال ( Ebied, 2001,p.6; Dorfler, 1999,p. 63 ) . 12- الأنشطة الإثرائية تسهم في تدريس الرياضيات من منظورات مجتمعية ، معيشية ، وتهتم بتطبيقات الرياضيات في الحياة اليومية للتلاميذ ( وليم عبيد ، 1998 ص4 ؛ مجدى عزيز، 2000، ص 21-23 ) . 13- الأنشطة الإثرائية مدخل للارتقاء بنواتج التعلم في الفصل الدراسي ، فبدلاً من تحقيق التحصيل يتحقق التفوق ، وبدلاً من تنمية القدرة على حل المشكلات العادية ، تنمو القدرة على حل المشكلات غير الروتينية ، وبدلاً من التعلم الاستقبالى السلبي يتحقق التعلم الإيجابي النشط ( Anthony, 1996, p. 366) . 14- الأنشطة الإثرائية ليست مدخلاً لرفع التحصيل الدراسي فقط ، ولكنها مدخلاً لتحفيز الدوافع وإطلاق الطاقات الكامنة لدى التلاميذ واستثارة حب الاستطلاع الرياضي لديهم (Schulthes & Wolosky, 1998 , p.44 ; Hatch, 1999, p.106) . 15- الأنشطة الإثرائية ليست ألعاباً أو ألغازاً فحسب ، ولكنها مشكلات رياضية غير روتينية، ومغالطات علمية ، وطرائف شيقة ، وبرمجيات كومبيوتر ، ومواد يدوية تناولية تُكسب المجردات الرياضية معنى مجسداً يجعلها واضحة مفهومة للتلاميذ (Smith, 1998, p. 51 ; Winebrener & Berger,1994, p.5). ملحق (1) الأنشطة الإثرائية المناسبة لتدريس الرياضيات بالمرحلة الإعدادية من بين الأنشطة الإثرائية التي يمكن لمعلم الرياضيات بالمرحلة الإعدادية أن يستخدمها أثناء التدريس ما يلي : 51- بناء المربعات السحرية فردية الرتبة وزوجية الرتبة ، واستكشاف خواصها الرياضية وتحديد مجموع عناصر أي صف أو عمود أو قطر بها . 52- استخدام هذه المربعات في تدريس عملية الجمع في مجموعات الأعداد المختلفة بطريقة مشوقة للتلاميذ بالمرحلة الإعدادية . 53- تحديد الأعداد المناظرة للحروف الأبجدية ، واستخدامها في إجراء عمليات جمع الحروف والكلمات بطريقة تماثل جمع الأعداد والأرقام . 54- التعرف على الخصائص العجيبة لبعض الأرقام ، ومنها الرقم 9 ، واستخدام هذه الخصائص في اختصار إجراءات الحسابات المطولة التي تتضمن هذه الأرقام . 55- استخدام طرائق غير تقليدية لإجراء عملية ضرب الأعداد ، ومنها طريقة الضرب المتماثل لعددين متشابهين ، وطريقة قضبان نابير ، وطريقة المصريين القدماء . 56- استكشاف الأنماط العددية والهندسية وتحديد المعادلات الرياضية الكامنة وراء كل منها . 57- استخدام الصيغة الأسية في كتابة الأعداد الكبيرة جداً ، أو الصغيرة جداً ، بطرائق غير تقليدية والتعرف على المسميات الرياضية غير المألوفة لتلك الأعداد . 58- ترجمة العلاقات والقوانين الجبرية إلى أشكال هندسية توضحها وتفسرها ، وتبرهن على صحتها ، بطريقة شكلية تختلف عن الطرائق المتبعة في كتب الجبر . 59- اكتشاف المغالطات الهندسية للمثلث متساوي الساقين وتحديد الأسباب الكامنة وراء كل منها. 60- استخدام طرائق غير مألوفة في إثبات نظريات المثلث متساوي الساقين . 61- حل المعضلات الهندسية التي تبدو في ظاهرها سهلة ، ولكنها في حقيقة الأمر معقدة ، وتحتاج إلى كثير من الوقت والجهد بمداخل إبداعية سهلة الفهم . 62- اشتقاق النسبة التقريبية (ط) بأكثر من طريقة ، وبيان علاقتها بخصائص الدائرة . 63- بناء المستطيل الذهبي ، وتحديد النسبة الذهبية ، ودراسة الخواص الهندسية لكل منهما . 64- استخدام المثلث الذهبي في حساب مساحات الأشكال الهندسية المركبة ، وبيان علاقتها بالنسبة الذهبية . 65- اكتشاف المغالطات الرياضية في الإثباتات والبراهين الهندسية ، وتقديم التبريرات المناسبة لها . 66- اكتشاف الكسور الاعتيادية ذات الخواص العجيبة ، وإثبات هذه الخواص بشكل رياضي. 67- استخدام الطرائق الهندسية في إثبات صحة المتساويات الجبرية بأساليب ممتعة تثير اهتمام الطلاب وتزيد من دافعيتهم نحو تعلم الجبر . 68- حل المعادلات التربيعية بطرق جديدة غير مألوفة بكتب الجبر المقررة . 69- تحديد المغالطات الرياضية في الإثباتات الجبرية وتبريرها بشكل رياضي صحيح وتحديد الأسباب الكامنة وراءها . 70- إيجاد قوا سم عدد ما بطرائق متعددة بدون إجراء عمليات القسمة المطولة التقليدية . 71- اشتقاق قواعد سريعة لاختبار قابلية القسمة على الأرقام والأعداد من 2 حتى 49 . 72- استخدام الاستراتيجيات العكسية في حل المشكلات الرياضية غير الروتينية . 73- إيجاد العدد الصحيح المناظر لأي مضلع هندسي ورسم المضلع الهندسي الذي يناظر أي عدد صحيح . 74- استخدام مثلث باسكال وهرم باسكال في إيجاد قيم بعض المقادير الجبرية غير البسيطة . 75- إيجاد حل المعادلات التكعيبية في شكليها الرمزي أو اللفظي بطريقة غير روتينية . 76- استخدام طرق الهنود القدماء في إجراء العمليات الحسابية الأربع الأساسية وبعض العمليات الحسابية الأعلى . 77- حل بعض المشكلات الفيزيقية ( المشكلات الحياتية ) باستخدام الأعداد المركبة والكميات المتجهة والمتجهات . 78- استخدام مفاهيم وقوانين الاحتمالات والإحصاء لفهم نتائج الألعاب الرياضية المختلفة . 79- ترجمة أي تحويلة هندسية إلى مصفوفة ثنائية 2 × 2 وترجمة أي مصفوفة ثنائية إلى تحويلة هندسية . 80- بناء حاسب القطع الزائد واستخدامه بطريقة مبتكرة في إجراء عمليتي الضرب والقسمة. 81- اشتقاق معادلات رياضية لإيجاد مجموع المتسلسلات العددية كثيرة الحدود بدقة وسرعة . 82- تحليل أي عدد صحيح إلى عوامله الأولية بدون الحاجة إلى إجراء عمليات القسمة واشتقاق قواعد لاختبار قابلية القسمة بسرعة ودقة ومهارة . 83- رسم المنحنيات الهندسية بأساليب غير مألوفة وبدون الحاجة إلى معرفة المعادلات أو بناء الجداول التقليدية . 84- بناء متسلسلات عددية متقدمة مثل متسلسلة فيرى وفيبوناسى واكتشاف الخصائص المميزة لكل منها . 85- حل المشكلات الرياضية المعقدة التي تتضمن اللانهاية باستخدام طرق جبرية بسيطة . 86- حل معادلة الدرجة الأولى في مجهولين بطرائق تكاملية تستثير اهتمام التلاميذ . 87- بناء متسلسلة فيبوناسى وإيجاد مجموعها ومجموع مربعاتها واكتشاف أهم خواصها . 88- إيجاد ثلاثيات فيثاغورثية عددية واستخدامها في حل مسائل المثلث قائم الزاوية . 89- إيجاد مجموع الحدود النونية لمتواليات الأعداد الطبيعية أو المثلثية أو التربيعية أو الخماسية بدقة وسرعة ومهارة . 90- إيجاد القاسم المشترك الأعظم لأي عددين بدون الحاجة إلى الاهتمام بقيمة كل من هذين العددين كما هو متبع في الطرق التقليدية . 91- تحليل المقادير الثلاثية إلى عواملها الأولية بدون استخدام الخوارزميات التقليدية . 92- تحليل العلاقات الرياضية الخاصة بالطبيعة العجيبة لبعض الأعداد الطبيعية والصحيحة . 93- تحديد العلاقة بين الوقت والزاوية من خلال حركة عقارب الساعة على مدار اليوم الكامل . 94- تحديد العلاقات بين المثلث قائم الزاوية والدائرة ( أو الدوائر ) المرسومة داخله أو خارجه . 95- تحديد خط أويلر في أي مثلث وتحديد العلاقة بين خواص المثلث وخواص الدائرة المرسوم داخلها هذا المثلث حتى يمكن فهم كل منهما . 96- رسم الأشكال الرباعية داخل أو خارج الدوائر بطرق هندسية غير روتينية . 97- حل معضلة تقسيم الدائرة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بسهولة ويسر . 98- استخدام خصائص الدوائر في إيجاد قياسات الزوايا بدون الحاجة إلى أساليب القياس التقليدية . 99- استخدام الأشكال الرباعية في بناء نماذج هندسية جميلة يمكن استخدامها في تزين وزخرفة المستويات الهندسية . 100- استخدام الأشكال الهندسية غير الروتينية في بناء علاقات هندسية مبتكرة . ملحق (2) نماذج لبعض الوحدات الإثرائية الوحدة الأولى طرائق متنوعة لضرب الأعداد الصحيحة تقدم هذه الوحدة خمس طرائق غير تقليدية لتحديد حاصل ضرب أي عددين صحيحين . الهدف السلوكي : بعد نهاية هذه الوحدة يجب أن يكون الطلاب قادرين على إيجاد حاصل ضرب أي عددين صحيحين باستخدام خمس طرائق غير مألوفة لهم في الكتب الدراسية . التقويم القبلي : يطلب المعلم من تلاميذه إيجاد حاصل ضرب العددين 43 ، 92 بأكثر من طريقة مع التفكيرفى طرائق غير تقليدية تخالف الطريقة المتبعة في الكتب الدراسية . استراتيجيات التدريس : لحل مثل هذه المسألة ، يقوم معظم الطلاب بضرب العددين باستخدام الطريقة التقليدية المعتادة للضرب الموضحة أدناه إلى اليسار . وقبل مناقشة الطرائق الأخرى للضرب يجب على المعلم أن يوضح لطلابه سبب صحة خوارزمية الضرب التقليدي وسوف يكون من السهل على الطلاب أن حاصل ضرب العددين : 92 43 × 92 = (40 + 3) × 92 = 40 × 92 + 3 × 92 × 43 = 3680 + 276 = 3956 276 وهو نفس الناتج الذي تم التوصل إليه في عملية الضرب التقليدية . + 368 3956 طرائق غير تقليدية لضرب الأعداد : 1- طريقة التضعيف : لضرب العددين 43 ، 92 ابني العمودين التاليين مبتدأً بالرقم (1) في العمود الأول والعدد (92) في العمود الثاني وضاعف كل منهما . لاحظ أن التضعيف يتوقف عند العدد 32 بسبب أن ضعف العدد 32 هو العدد 64 وهو أكبر من العدد 43 . ابدأ بالعدد الأخير في العمود الأول وأضف الأعداد المناسبة التي تجعله يصل إلى العدد 43 ، وهى الأعداد (32 ، 8 ،2، 1) ثم أضف الأعداد المناظرة لتلك الأعداد المختارة في العمود الثاني وهى 92 + 184 + 736 + 2944 = 3956 ولذلك يصبح حاصل ضرب العددين 43 × 92 = 3956 ويمكن توضيح سبب صحة هذه الطريقة على النحو التالي: 0 1 92 0 2 184 4 368 0 8 736 16 1472 0 32 2944 43 × 92 = (32 + 8 + 2 + 1) × 92 = (32 × 92) + (8 × 92) + (2 × 92) + (1 × 92) = 2944 + 736 + 184 + 92 = 3956 2- الطريقة الروسية للضرب : افرض أنك تريد ضرب العددين 43 ، 92 . ابني العمودين التاليين مبتدأً بالعددين 43 ، 92 ، ونَصف المدخلات في الصفوف المتتالية بالعمود الأول وارفض الباقى الأقل من الواحد الصحيح عندما يظهر وضاعف كل عدد في العمود الثاني . ضاعف كل عدد بالتتالى ، واستمر في هذه العملية حتى يظهر الرقم 1 في العمود الأول . 0 43 92 0 21 184 0 10 368 0 5 736 2 1472 0 1 2944 اختار الأعداد في العمود الثاني التي تناظر الأعداد الفردية في العمود الأول . واجمع هذه الأعداد لتحصل على حاصل ضرب العددين 43 × 92 . وبذلك يصبح الناتج هو 92 + 184 + 736 + 2944 = 3956 والبرهان الذي يثبت أن الطريقة الروسية صحيحة هو : افرض أن أ عدد زوجي : أ ×  { 0.5\ب = جـ ، جـ النتيجة المطلوبة . افرض أن 0.5 أ عدد فردى : 0.5أ – 2ب = جـ .   { 0.25أ × 4ب } – { 0.5 ×\(0.5أ) – 0.5 } × 4ب = ص . وباستخدام خاصية التوزيع :   جـ – 2ب = ص . ولذا فإن الناتج الجديد يكون\ 0.25أ × 4ب = جـ Q4ب } = ص .  اختصاراً للإجابة الصحيحة ( جـ ) بعد طرح 2ب منها (وهو العدد الأول المطلوب إضافته نظراً لأنه يتزاوج مع العدد الفردي 0.5 أ) . وأثناء إجراء عملية الضرب تبقى النواتج الجديدة من حاصل الضرب كما هي إذا كان العدد ك أ (أي عدد في العمود الأول) فردياً . فإذا كان ك أ عدداً فردياً وكان ك أ × م ب = ع فإن الناتج التالي لحاصل الضرب ينقص بمقدار م ب (العدد الذي يوازى العدد الفردي) . وعلى سبيل المثال (0.5 ك أ – 0.5) × 2 م ب = (0.5 ك أ × 2 م ب) – (0.5 × 2 م ب) = ع – م ب وفى النهاية عندما يظهر الرقم 1 في العمود الأول يصبح : 1 × ل ب = ن حيث ل ب = ن وفى هذه الحالة : ن – جـ = - كل  جـ\النواقص (الأعداد المشار إليها أعلاه التي تقابل الأعداد الفردية ك أ)  (النتيجة المطلوبة) = ن + كل النواقص . ويمكن فهم خواص أخرى للطريقة الروسية للضرب  43 × 92 = (21 × 2 + 1) × (92) = 21 × 184 + 92 = 3956Qمن خلال الأمثلة التالية :   10 × 368 = (5 × 2 +Q 21 × 184 = (10 × 2 +1) × (184) = 10 × 368 + 184 = 3864 Q  5 × 736 = (2 × 2 + 1) × (736) = 2 × 1472 +Qصفر) × (368) = 5 × 736 + صفر = 3680   1 ×Q 2 × 1472 = (1 × 2 + صفر) × (1472) = 1 × 2944 + صفر = 2944 Q736 = 3680  3956 ويمكن للمدرس أن يلفت\2944 = (صفر × 2 +1) × (2944) = صفر + 2944 = 2944  انتباه تلاميذه إلى هذه الطريقة غير التقليدية للضرب من خلال شرح الطبيعية الثنائية لعملية الضرب على النحو التالي : (43) × (92) = (1 × 52 +صفر× 42+1 × 32 +صفر× 22+1×12+ 1 × 2 0 ) × (92) = 2 صفر × 92 + 12 × 92 + 32 × 92 + 52 × 92 = 92 + 184 + 736 + 2944 = 3956 ويمكن تشجيع الطلاب على إجراء عمليات ضرب أخرى مشابهة على الأعداد الصحيحة باستخدام نفس الطريقة . 3- طريقة لاتس للضرب : لفهم هذه الطريقة حاول إيجاد حاصل ضرب العددين 43 × 92 . ابني جدول رباعى الخانة 2 × 2 وارسم أقطاره كما في الشكل المقابل : أولاً : اضرب 3 × 9 = 27 وضع 2 فوق 7 كما هو موضحاً بالجدول إلى اليمين . واضرب 4 × 9 = 36 وضع 3 فوق 6 في الخانة المناسبة واستمر في هذه العملية حتى تملأ الخانات الباقية من الجدول . لاحظ أن 3 × 2 = 6 يمكن تسجيلها كما يلي 6 / 0 ثانياً : طالما توجد أرقام في كل خلايا الجدول اجمع الأرقام في الاتجاهات القطرية المشار إليها مبتدأ من اليمين إلى أسفل وضع المجاميع الناتجة في دوائر أسفل وعلى يسار الجدول كما هو موضح. لاحظ أنه في عملية الجمع الثانية 8 + صفر + 7 = 15 تم تسجيل الرقم 5 وحمل الرقم 1 إلى القطر التالي والإجابة الصحيحة النهائية التي تعبر عن حاصل ضرب (43 × 92) يتم الحصول عليها بقراءة الأعداد داخل الدوائر بداية من الدائرة العليا ناحية اليسار وانتهاءً بالدائرة السفلى ناحية اليمين ، وهذا يعنى أن الإجابة المطلوبة هي 3956 . 4- طريقة تراتشتنبرج للضرب : قدم تراتشتنبرج طريقة لإجراء العمليات الحسابية بسرعة ودقة وفق قواعد رياضية محددة وسوف نركز هنا على ضرب عددين يتكون كل منهما من رقمين . افترض أن المطلوب هو إيجاد حاصل ضرب العددين 43 × 92 ولحل هذه المسألة اتبع الخطوات التالية : الخطوة الأولى : اضرب أرقام الآحاد في ( 3 × 2 = 6 ) . اكتب الرقم 6 في بداية الناتج. × 92 الخطوة الثانية :\العددين 43   [ (9 × 3) +\اضرب العددين بطريقة المقص واجمع حوا صل 3956 الضرب الناتجة في عقلك  (2 × 4) ] = 27 + 8 = 35 ] ضع الرقم 5 على يسار الرقم 6 واحمل الرقم 3 (لكى يضاف في الخطوة الثالثة) الخطوة الثالثة : اضرب رقمي العشرات واجمع عليهما أي عدد محمول من  [ 9 × 4 = 36 ، 36 + 3 = 39 ] 43 اكتب العدد 39 على يسار الرقم\الخطوة السابقة .  5 في ناتج الضرب لتحصل × 92 على حاصل ضرب العددين ويمكن توضيح التبرير الجبري 56 لهذه الطريقة على النحو التالي : (10 أ + ب) (10 م + ن) = 43 = 10 أ × 10 م + 10 أ × ن + 10ب × م + ب ن × 92 = 100 أ م + 10(أ ن + ب م ) + ب ن 3956 الخطوة الثالثة الخطوة الثانية الخطوة الأولى 5- طرق أخرى لضرب الأعداد : يمثل الضرب في العدد 10 طريقة عملية سهلة لإجراء عملية الضرب . وتقوم هذه الطريقة للضرب على الفكرة التالية : اجعل الطلاب يحسبون حاصل ضرب العددين م × ن بفرض أن : س = 10 ل حيث م < س <  م × ن (س – أ) (س + ب) = س2 – أ س + ب س – أ ب .\ن ، س – م = أ ، و ن – س = ب  ومثال لاستخدام هذه الطريقة في إجراء عملية الضرب : لإيجاد حاصل ضرب العددين 43 × 43 × 92 = (60 – 17) (60 + 32) = 3600 + (-17 × 60 + 60 ×\92 ، افرض أن س = 60  32) + (-17 × 32) = 3600 + (-1020 + 6920) + (-544) = 3600 + 900 – 544 = 3956 وفى جميع الأحوال ، إذا كانت الأعداد على مسافات متماثلة في العدد (س) فإن هذه الطريقة تكون أسرع في الضرب لأن الحد الأوسط يمكن أن يتم حذفه أثناء إجراء عملية الضرب .  57 × 63 = (60 –\مثال : افرض أن الطلاب يريدون إيجاد حاصل ضرب العددين 57 × 63 :  3) (60 + 3) = (60)2 – (3)2 = 3600 – 9 = 3591 لاحظ أن أحد جوانب المهارة الرياضية عند التعامل مع طرائق الضرب المختلفة يتضمن اختيار الطريقة المناسبة للمسألة المراد حلها ويجب على المعلم التأكيد على ذلك أمام تلاميذه داخل الفصل . والآن بعد أن تعرض الطلاب للعديد من طرائق إيجاد حوا صل الضرب يمكن للمدرس أن يقترح على الطلاب أن يبحثوا عن ويكتشفوا طرائق أخرى لإيجاد حوا صل الضرب بأنفسهم. التقويم البعدى : أوجد حاصل ضرب العددين 52 × 76 باستخدام أي أربع طرائق مختلفة للضرب . الوحدة الثانية استكشاف الأنماط والتراكيب الرياضية صُممت هذه الوحدة لدراسة الأنماط في الرياضيات ، ويمكن استخدامها في إثراء قدرات التلاميذ على استكشاف الأنماط الرياضية ، وفهم العلاقات والقوانين الرياضية التي تكمن وراءها. الأهداف السلوكية : بعد نهاية هذه الوحدة يمكن أن يكون الطلاب قادرين على : 1- استكشاف الأنماط والتراكيب الرياضية بواسطة الملاحظة الواعية لسلاسل الأعداد أو الأشكال الرياضية . 2- بناء المعادلات للأنماط والتراكيب الناتجة باستخدام طريقة المحاولة والخطأ أو الطريقة الاستقرائية أو أي طرائق أخرى مناسبة . 3- بناء المعادلات للأنماط والتراكيب الرياضية بواسطة اكتشاف قواعد إيجاد الثابت العددي وقيم كل من س ، س2 . التقويم القبلي : اجعل طلابك يكتبون الأعداد الناقصة في الجداول التالية (مكان علامات الاستفهام) ويحاولون إيجاد المعادلات الكامنة وراء تلك الجداول العددية : أ) ب) جـ) د) قد يحاول كثير من الطلاب إيجاد الأنماط والمعادلات باستخدام طريقة المحاولة والخطأ. ولعلاج ذلك اجعلهم يكتبون الأعداد الناقصة والمعادلات التي تكمن وراءها ويلاحظون الفروق بين الأعداد الصادية المتتالية في كل جدول . وفى النهاية قد تبدو الجداول الكاملة كما يتضح من الشكل التالي حيث (د) ترمز إلى الفرق بين الأعداد الصادية المتتالية . أ) ب) جـ) د) ص = 2 س + 1 ص 3 س + 1 ص = 4 س + 1 ص = 2 س + 3 اجعل الطلاب يلاحظون الثوابت في كل حالة ، هل لاحظوا أي نمط ؟ قد يلاحظون أن الثابت هو قيمة ص عندما تكون قيمة س = صفر . الفت انتباه الطلاب للفرق بين القيم الصادية المتتالية ، هل لاحظوا أي شيء ؟ نعم ، لاحظوا أن الفرق بين القيم الصادية المتتالية هو معامل س . اشرح أنماطاً متعددة من نفس النوع حتى يتعود الطلاب على إيجاد الأنماط الرياضية والمعادلات الكامنة وراءها بسرعة ودقة . استراتيجيات التدريس : أعطى طلابك التدريب التالي واجعلهم يوجدون النمط الرياضي والمعادلة الرياضية الكامنة وراءه إذ كانوا يستطيعون ذلك : كم عدد المستطيلات الكلى في الشكل ؟ أكمل الجدول . ومن خلال ملاحظة عدد المستطيلات الصغيرة والكبيرة سوف يصبح الطلاب قادرين على إيجاد النمط وإكمال الجدول . اجعل الطلاب يسجلون الفرق الأول ويلاحظون أنه ليس ثابتاً . اجعلهم أيضاً يسجلون الفرق الثاني . ويلاحظون أنه ثابتاً . اجعلهم يلاحظون كل النواتج في الجدول . فقد يستطيع البعض منهم إيجاد المعادلة أيضاً . والمعادلة هي : ص = + مثال : اجعل الطلاب يتبعون نفس الخطوات مع النمط التالي : ما أكبر عدد من أجزاء الدائرة يمكنك إيجاده إذا كان (س) عدد المستقيمات القاطعة لها . لاحظ الفرق الأول تجده ليس ثابتاً . لاحظ الفرق الثاني تجده ثابتاً وشجع الطلاب على التوصل إلى المعادلة المحددة لهذا النمط وهى: ص = + + 1 حيث : س عدد قواطع الدائرة ص عدد أجزاء الدائرة الناتجة هل توجد أية أنماط بين قيم الثوابت أو المعادلات في المثالين السابقين ؟ نعم الثابت هو قيمة ص عندما تصبح قيمة س صفراً . اختبر المعادلة أ س2 + ب س + جـ = ص وأوجد قيم ص التي تقابل قيم س. ومن الجدول ابحث عن النمط الجبري تجد أن قيمة ص تساوى قيمة الثابت عندما قيمة س تساوى الصفر ، والفرق الأول هو أ + ب وهو مجموع معاملات س2 ، س ، الفرق الثاني هو 2 أ وهو ضعف قيمة معامل س2 ، قيمة الفرق الأول عندما س = 1 هي أ + ب ، ونظراً لأننا نعرف قيمة أ ( لأنها 0.5 الفرق الثاني ) فإننا يمكن أن نوجد قيمة ( ب ) من خلال طرح قيمة ( أ ) من الفرق الأول ( أ + ب ) . ولذا إذا فحصنا النمط السابق مرة أخرى يمكننا بسهولة التوصل إلى المعادلة التي تحكم هذا النمط . ونظراً لأن الثابت هو قيمة ص عندما تصبح قيمة س تساوى صفراً فإن الثابت يساوى 0.01 ، الفرق الثاني يساوى 2 أ . ونظراً لأن الفرق الثاني يساوى 1 فإن قيمة أ = 0.5، الفرق الأول أ + ب ونظراً لأن د1 = 1 ، أ = 0.5 فإن قيمة ب = 0.5 ولذا تصبح المعادلة التي تحكم هذا النمط هي ص = 0.5 س2 + 0.5 س+1 أي ص = س2 + س + 1 . التقويم البعد : أكمل الجداول التالية وأوجد المعادلات للأنماط والتراكيب الرياضية المتضمنة بها من خلال إيجاد الفرقين الأول والثاني د1 ، د2 كما في الأمثلة التي تم شرحها في هذه الوحدة . الوحدة الثالثة خوارزميات غير تقليدية لحل المعادلات التربيعية تقدم هذه الوحدة أربع خوارزميات غير تقليدية لحل المعادلات التربيعية التي تأخذ الصورة أ س2 + ب س + جـ = صفر الهدف السلوكي : بعد الانتهاء من دراسة هذه الوحدة يمكن أن يصبح الطلاب قادرين على حل أي معادلة تربيعية معطاة بأربع خوارزميات مختلفة على الأقل . التقويم القبلي : اطلب من تلاميذك حل المعادلة التالية بعدة طرق مختلفة : س2 – 7س + 12 = صفر استراتيجيات التدريس : لحل هذه المعادلة قد يستخدم معظم طلابك طريقة التحليل إلى العوامل الأولية . وهذا يعنى أنه لكى نحل هذه المعادلة يجب أن س – 3 =\ (س – 3) (س – 4) = صفر \ س2 – 7س + 12 = صفرQنجرى العمليات التالية :   س = 3 أو س = 4 وفى بعض الأحيان لا يمكن استخدام هذه الطريقة\صفر أو س – 4 = صفر  لحل كل أنواع المعادلات التربيعية ، فإذا كان المقدار الثلاثي أ س2 + ب س + جـ من المعادلة أ س2 + ب س + جـ – صفر غير قابل للتحليل فأنه لا يمكن استخدام هذه الطريقة لحل المعادلة ، ولذا نصبح في حاجة إلى خوارزميات جديدة لحل المعادلات التربيعية ، وفيما يلي شرح لبعض هذه الخوارزميات : 1- خوارزمية إكمال المربع : إذا كان أ س2 + ب  أ س2 + ب س + جـ = س2 +\ صفر . ¹س + جـ = صفر حيث أ ، ب ، جـ هي أعداد صحيحة ، أ   س2 + س + ( ) 2 = - + ( ) 2\س + = صفر بإضافة مربع نصف معامل س لكل من الطرفين :   س = وهذه هو\ ±س + = \ ( س + ) 2 = - + بأخذ الجذر التربيعى لكل من الطرفين : \ قانون حل المعادلة التربيعية أ س2 + ب س + جـ = صفر مثال1 : حل المعادلة س2 – 7س +  ( س - )2 = = ( ويكمل الطالب )\ س2 – 7س + ( - )2 = -12 + ( - )2 Q12 = صفر الحل   مجموع الجذرين س1Q. 2- خوارزمية الإضافة والحذف : حل المعادلة س2 – 7س + 12 = صفر   أحد الجذرين يجب أن يكون + ن والجذر الآخر يجب أن يكون - ن حيث ن هو عدد\+ س2 = 7   س1 س2 = ( + ن ) ( - ن ) = - ن2 = 12\ حاصل ضرب الجذرين س1 س2 = 12 Qنسبى ما .  وبهذا فإن جذري المعادلة يصبحان : س1 =±ولذلك ن2 = ولذا تصبح قيمة ن =  + ن = + = 4 ، س2 = - ن = - = 3 وبهذا ينتهي حل المعادلة . 3- خوارزمية حل المعادلتين الآنيتين : لحل المعادلة س2 – 7س + 12 = صفر اعتبر أن مجموع وحاصل ضرب جذري  مربع مجموع الجذرين (س1 + س2)2 = 49 اضرب\المعادلة هما س1 + س2 = 7 ، س1 س2 = 12   -4 س1 س2 = -48 . بالجمع (س1 + س2)2 – 4س1 س2 = 49 –48\حاصل ضرب الجذرين في –4 ،   1 تذكر أن س1 + س2 = 7 والآن بحل± 1 = ± (س1 – س2)2 = 1 ولذلك س1 – س2 = \= 1   س1 = 4 ، س2 = 3 ولحل الحالة\المعادلتين الآنيتين الناتجتين يتضح أن : 2س1 = 8 ،   مربع مجموع الجذرينQالعامة للمعادلة أس2 + ب س + جـ= صفر نتبع الخطوات التالية :  (س1 + س2)2 = س1 2 +2س1 س2 + س2 2 = وبضرب حاصل ضرب الجذرين في –4 : -4 س1 س2 =  (س1 – س2)2 = ولذلك : س1 – س2\س1 2 + 2س1 س2 + س2 2 = + \بإضافة المعادلتين معاً   1 تذكر±1 = ± س1 – س2 = \ (س1 – س2)2 = 1 Q ) = ± س1 أو س2 = (\ س1 + س2 = Q ±=   س1 =\ 2س1 = 8 ، Qأن س1 + س2 = 7 والآن بحل هاتين المعادلتين الآنيتين يتضح أن :  4 ، س2 = 3 4- خوارزمية اختزال الجذر : لحل المعادلة س2 – 7س + 12 = صفر افرض أن ر  س2 = ( ر + ن )2 = ر2 + 2ر ن + ن2 والآن نعوض بالقيم\ س = ر + ن \= س – ن  \ ( ر2 + 2ر ن + ن2 ) – 7 ( ر + ن ) + 12 = صفر Qالمناسبة في المعادلة الأصلية .  ر2 – ر ( 2ن – 7 ) + ( ن2 – 7 ن + 12 ) = صفر إذا كان 2ن – 7 = صفر فإن ر تزول . وهذا يحدث عندما ن = وعندئذ تصبح المعادلة : ر2 + (ن2 – 7ن + 12)2 = صفر و بالتعويض  وبهذا فإن الجذرين (± ر = \ ر2 = - 12 = \ ر2 + ( - 7 ( ) + 12 ) = صفر \ ن = Q:  س = ر + ن ) يصبحان : س1 = + = 4 ، س2 = - + = 3 وتسير الحالة العامة بطريقة مماثلة . وبالرغم من أن بعض هذه الخوارزميات لحل المعادلات التربيعية ليس عملياً بدرجة كبيرة فإنها تقدم للطلاب فهم أفضل للعديد من الإجراءات الكامنة وراء حل المعادلات التربيعية الخاصة أو العامة . التقويم البعدى : اطلب من تلاميذك حل المعادلات الآتية باستخدام أربع خوارزميات مختلفة . س2 – 11 س + 30 = صفر ، س2 + 3س – 28 = صفر